Ich bin mir auch nicht ganz sicher, ob ich von der Wahrscheinlichkeitsdichte oder von der Verteilungsfunktion den Erwartungswert bestimmen muss.
Weder Wahrscheinlichkeitsdichten, noch Verteilungsfunktionen haben einen Erwartungswert.
Zufallsgrößen haben einen Erwartungswert.
Der Erwartungswert der stetigen Zufallsgröße \(X\) ist
\(\displaystyle\operatorname{E}(X) = \int_{-\infty}^\infty f_X(x)\,\mathrm{d}x\)
wobei \(f_X\) die Dichtefunktion der Zufallsgröße ist.
Sei zum Beispiel
\(f(x) = \begin{cases}ax²+bx+c&\text{für }-2\leq x\leq 0\\1-\frac{2}{3}x&\text{für }0 < x \leq \frac{2}{3}\\0&\text{sonst}\end{cases}\)
die Dichtefunktion der Zufallsgröße \(X\). Dann ist
\(\begin{aligned} \operatorname{E}(X) & =\int_{-\infty}^{\infty}x\cdot f(x)\mathrm{d}x\\ & =\int_{-\infty}^{-2}x\cdot f(x)\,\mathrm{d}x+\int_{-2}^{0}x\cdot f(x)\,\mathrm{d}x+\int_{0}^{\frac{2}{3}}x\cdot f(x)\,\mathrm{d}x+\int_{\frac{2}{3}}^{\infty}x\cdot f(x)\,\mathrm{d}x\\ & =\int_{-\infty}^{-2}x\cdot0\,\mathrm{d}x+\int_{-2}^{0}x\cdot\left(ax^{2}+bx+c\right)\mathrm{d}x+\int_{0}^{\frac{2}{3}}x\cdot\left(1-\frac{2}{3}x\right)\mathrm{d}x+\int_{\frac{2}{3}}^{\infty}x\cdot0\,\mathrm{d}x\\ & =\int_{-\infty}^{-2}0\,\mathrm{d}x+\int_{-2}^{0}\left(ax^{3}+bx^{2}+cx\right)\mathrm{d}x+\int_{0}^{\frac{2}{3}}\left(x-\frac{2}{3}x^{2}\right)\mathrm{d}x+\int_{\frac{2}{3}}^{\infty}0\,\mathrm{d}x\\ & =0+\left[\frac{1}{4}ax^{4}+\frac{1}{3}bx^{3}+\frac{1}{2}cx^{2}\right]_{-2}^{0}+\left[\frac{1}{2}x^{2}-\frac{2}{9}x^{3}\right]_{0}^{\frac{2}{3}}+0 \end{aligned}\)
