Was ist der Wert des Integrals?

Question

Aufgabe:

Sei \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \), mit stetigen zweiten Ableitungen und folgende Bedingungen \( f(0) = f(\pi) = 1 \) erfüllt. Was ist der Wert des Integrals \( \int_{0}^{\pi} (f(x) + f''(x)) \sin x \,dx ? \)

Wir können das Integral in zwei Teile zerlegen:
\( \int_{0}^{\pi} f(x) \sin x \,dx + \int_{0}^{\pi} f''(x) \sin x \,dx \)

Dann partielle Integration anwenden:

\(= -f(x) \cos x \Big|_{0}^{\pi} + \int_{0}^{\pi} f'(x) \cos x \,dx + \sin x f'(x) \Big|_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} f'(x) \cos x \,dx \)

\(= -f(x) \cos x \Big|_{0}^{\pi} + \sin x f'(x) \Big|_{0}^{\pi} \)

\(= -f(\pi) \cos \pi + \sin \pi f'(\pi) + f(0) \cos 0 - \sin 0 f'(0) \)

Mit \( f(0) = f(\pi) = 1 \):

\( = -1 \cdot (-1) + 0 \cdot f'(\pi)  + 1 \cdot 1 - 0 \cdot f'(0) = 1 + 0 + 1 - 0 = 2 \)

Richtig so?

Answer 1

Ein Beispiel ist zwar kein Beweis, aber du kannst es ja immerhin an einem Beispiel mal überprüfen.

\( f(0) = f(\pi) = 1 \) wird z.B. durch die Funktion f(x)=cos(2x) erfüllt.

Für diese Funktion ist f''(x)= -4cos(x)

Du hättest damit \( \int_{0}^{\pi} (f(x) + f''(x)) \sin x \,dx \)=\( \int_{0}^{\pi} (-3)\cos x \sin x \,dx \)=\( \int_{0}^{\pi} (-1,5) \sin 2x \,dx \) zu berechnen.

PS: f(0)=f(π)=1 wird auch durch die Funktion f(x)=1+sin x erfüllt.

Answer 2

Deine Rechnung ist völlig richtig und auch ordentlich aufgeschrieben, sehr schön.