Textaufgabe zu Funktionen

Question

Bestimmen Sie für die Funktion \( g(x) = -2x^{7}+9 x^{6}-4 x^{2}+3 x+1 \) die beiden Werte \( \mathrm{g}(8) \) und \( \mathrm{g}^{\prime}(0) \).

Geben Sie die geometrische Bedeutung dieser Ergebnisse an und begründen Sie damit, ob \( g(x) \) for \( x>0 \)

- eine Nullstelle
- einen Hochpunkt

haben muss.

Von den beiden Funktionen \( f(x) \) und \( g(x) \) sind die Funktionsterme nicht bekannt, dafür kennt man jedoch den Verlauf der beiden Graphen. Es wird vermutet, dass die eine Funktion die Ableitung der anderen Funktion ist.
Untersuchen Sie, ob diese Vermutung stimmt. Begründen Sie Ihre Aussage an drei Stellen bzw. Bereichen. Diese können Sie z. B. farbig markieren, um dann in Ihrem Text darauf Bezug zu nehmen.

Answer 1

Hi,

Für g(8) ist g(8) = -1835239   (Punkt liegt weit unterhalb der x-Achse)

g'(x) = -14x^6+54x^5-8x+3

g'(0) = 3                                        (An der Stelle 0 gibt es eine positive Steigung)

 

Nullstelle: Keine Aussage möglich, solange g(0) nicht bekannt.

Hochpunkt: Es muss einen Hochpunkt geben, da wir wegen -2x^7 in den stark negativen Bereich wollen. Dazu braucht es eine negative Steigung.

 

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f(x) ist die Ableitung von g(x).

Indizien dafür:

Ein Hochpunkt von g(x) muss durch eine Nullstelle bei f(x) angezeigt werden, was der Fall ist.

Ein Extremum der Ableitung ist ein Wendepunkt der Funktion -> ist der Fall.

g(x) hat eine positive Steigung bis zum Hochpunkt, folglich muss die Ableitung bis zu dieser Stelle positiv sein -> ist der fall.

 

Grüße

Comments

@Unknown
" Wüsste man den y-Wert an der Stelle x =  0 ließe sich einiges mehr sagen. "
g ( x ) = - 2 x ⁷ + 9 x ⁶ - 4 x ² + 3 x + 1
Meiner Meinung nach dürfte g(0) = 1 sein
mfg Georg

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Das ist schon klar, aber ich gehe davon aus, dass nur g'(0) und g(8) als bekannt verwendet werden dürfen ;).

Habe es nochmals leicht modifiziert.

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@unknown
Bekannt:
g(8) = -1835239   (Punkt liegt weit unterhalb der x-Achse)
g'(0) = 3  
Da g(0) ja nicht berechnet werden soll und auch nicht zur
Aufgabenstellung herangezogen werden darf dürfte die
Antwort sein
- eine Nullstelle. Kann nicht beantwortet werden
- einen Hochpunkt. Kann nicht beantwortet werden.
Bei Bedarf zeichne ich noch paar Bildchen.

mfg Georg

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Doch, einen Hochpunkt bedarf es. Berücksichtige, dass wir ein Polynom mit ungeradem Grad haben und die Steigung letztlich negativ sein muss (wegen negativen Vorzeichen der höchsten Potenz) ;).

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@unknown
wenn die Ursprungsgleichung mit verwendet darf dann ist die
Existenz eines Hochpunkts gesichert.
Die ganze Frage ist aber qualitativ eher bedenklich :

- Geben Sie die geometrische Bedeutung der beiden Ergebnisse an :
   Antwort : bei x = 8 liegt der Funktionswert unterhalb der x-Achse.
   Antwort : bei x = 0 liegt eine positive Steigung vor.
   Dies sind keine besonders erhellende Einsichten zur Funktion.

 mfg Georg

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Wie meinen?

Die beiden Werte alleine sind natürlich so gut wie nichtssagend. Wenn man die Funktion selbst aber nicht nutzen darf, ist die Aufgabe selbst hinfällig ;).

Hingegen halte ich es nicht zu weit hergeholt, dass keine weiteren Bedingungen herausgelesen werden dürfen, sondern eben nur die drei:

- Polynom 7ten Grades mit negativen Vorzeichen

- g'(0)

- g(8)


Das passt auch insofern, dass ein "muss"  passt und das andere nicht ;).

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Hallo unknown,

 nach genauester Analyse des Fragetextes bin ich der Meinung

  - die Formel g ( x )
  - g ( 8 )
  - g´ ( 0 )

  können zur Beantwortung genutzt werden..

  Die Funktionsgleichung g ( x )  muß sogar zur Bestimmung der 1.Ableitung
genutzt  werden.

  Jetzt ist die Frage : darf Sie weiter genutzt werden z.B. zur Bestimmung
von g ( 0 ) ? Falls ja, nichts sprach dagegen, war die Sache einfach.  Siehe
meinen ersten Kommentar.

  Zu deinen Überlegungen lim x -> -∞  : da es mir nicht vergönnt gewesen
wäre das Ergebnis direkt " zu sehen " hätte ich auch rechnen müssen.

  mfg Georg

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Jetzt ist die Frage : darf Sie weiter genutzt werden z.B. zur Bestimmung
von g ( 0 ) ? Falls ja, nichts sprach dagegen, war die Sache einfach.  Siehe
meinen ersten Kommentar.

Das halte ich wie gesagt für unwahrscheinlich. Dann hätte man direkt verlangt, dass das ebenfalls ausgerechnet werden muss.

 

Zu deinen Überlegungen lim x -> -∞  : da es mir nicht vergönnt gewesen
wäre das Ergebnis direkt " zu sehen " hätte ich auch rechnen müssen.

Meiner Einschätzung nach sollte man das auch ohne Rechnung erkennen können. Man kann das ja stark zu -x^7 vereinfachen und dieser Verlauf lässt sich zumindest durch Wissen über -x^3 "ablesen" bzw. abschätzen.

JotEs nutzt ja die gleiche Argumentation etwas ausführlicher aufgeschrieben. Es wird aber nichts gerechnet, sondern vorhandens einfach nur genutzt ;).

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Hallo Unknown,.

  du hast " gesehen " ( ohne weitere Berechnung ) das der
Grenzwert lim x-> -∞ von g ( x ) gegen -∞ geht.

  Ich habe " gesehen " ( ohne weitere Berechnung ) das g ( 0 ) = 1 ist.

  Beides ist meiner Meinung nach gleichwertig. Lassen wir´s
damit gut sein.

  mfg Georg

Answer 2

Erste Aufgabe:

g ( x ) = - 2 x ⁷ + 9 x ⁶ - 4 x ² + 3 x + 1

g ' ( x ) = - 14 x ⁶ + 54 x ⁵ - 8 x + 3

Es ist:

g ( 8 ) = - 2 * 8 ⁷ + 9 * 8 ⁶ - 4 * 8 ² + 3 * 8 + 1 = 261913

g ' ( 0 ) == - 14 *0 ⁶ + 54 * 0 ⁵ - 8 * 0 + 3 = 3

 

g ( 8 ) = 261913 ist der Funktionswert von g an der Stelle x = 8

g ' ( 0 ) = 3 ist die Steigung von g an der Stelle x = 0 

 

g ( x ) muss für x > 0 sowohl eine Nullstelle als auch einen Hochpunkt haben.

Begründung:

g ( x ) ist eine ganzrationale Funktion 7. Grades (also ungeraden Grades) mit negativem Koeffizienten vor dem Glied mit dem höchsten Exponenten.
g ( x ) hat daher die Eigenschaft:

lim _x->∞ g ( x ) = - ∞

Da aber g ( 8 ) positiv ist, muss g ( x ) für x > 8 , also auch für x > 0,  eine Nullstelle haben.

Und da die Steigung von g ( x ) an der Stelle x ₀= 0 positiv ist, muss es im weiteren Verlauf eine Stelle x₁ > 0 geben, an der die Steigung von g ( x ) negativ ist, da nur dann der Funktionswert von g ( x ) gegen - unendlich streben kann. Das aber bedeutet, dass es irgendwo zwischen x₀ = 0 und x₁ > 0 eine Stelle geben muss, an der ein Hochpunkt vorliegt.

 

Zweite Aufgabe:

f ( x ) könnte die Ableitung von g ( x ) sein, denn:

1) Für x < 0 ist die Steigung von g ( x ) positiv, genau indiesem Bereich hat f ( x ) positive Werte.

2) Bei x = 0 hat f ( x ) den Funktionswert Null, an dieser Stelle hat auch die Steigung von g ( x ) den wert Null (Extremstelle von g) 

3) Für x > 0 hat f ( x ) ist die Steigung von g ( x ) negativ. Genau indiesem Bereich hat f ( x ) negative Werte.

Comments

Dein g(8) stimmt leider nicht :/.

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Jajaja, ist ja gut - habt ihr euch noch nie verrechnet ? :-)

Nein, im Ernst, ihr habt natürlich recht - und ich hätte das eigentlich auch merken müssen.

Nun gut, damit ist meine Antwort zu Aufgabe 1 leider fast vollkommen falsch, lediglich meine Argumentation für die Existenz eines Hochpunktes bleibt gültig.

Ich werde das jetzt aber nicht mehr korrigieren, da inzwischen (und vollkommen berechtigt) Unknowns Antwort zur Besten gekürt wurde und damit kein Bedarf an anderen Antworten mehr zu bestehen scheint.