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Aufgabe:

Extremwerte: Gegeben sei die Funktion

\( f(x)=a x^{3}+b x . \)
Hierbei ist \( a \) eine positive und \( b \) eine negative Zahl.
a) Bestimmen Sie die lokalen Extremstellen der Funktion.
b) Hat die Funktion einen Wendepunkt? Falls ja, geben Sie inn an.


Ansatz/Problem:

7A7FBB00-72D5-4B0C-80E5-9E3DFE20650E.jpeg

Text erkannt:

\( f(x)=a x^{3}+b x \quad a \) positive cend \( b \) negative Zahl
\( f^{\prime}(x)=3 a x^{2}+b \)
\( 3 a x^{2}+b=01-b \quad D a \) a pasitiv cend \( b \) negativ ist,
\( 3 a x^{2}=-b \quad \mid: 3 a \) weid die Warzel pasitis scén.
\( x^{2}=\frac{-b}{3 a} \mid \sqrt{ } \) becleetet, dlassclic Fcenktion hainc
\( x= \pm \sqrt{\frac{-b}{3 a}} \quad \) lokalen Extremstellen hat.
b)
\( f^{\prime \prime}(x)= \) Gax Da clic rewite kbleitang linear ist, gibtes keènen wandepenkt.

Hallo, stimmt die Lösung so? Vielen Dank schonmal für eure Hilfe. :-)

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Beste Antwort

a) f '(x) =0

3ax^2+b = 0

x^2 = -b/(3a)

x= ±√-b/(3a)

f''(x) = 6ax

f ''( +√-b/(3a))  >0  -> Minimum

f''( +√-b/(3a)) <0 -> Maximum


WP:

6ax = 0

x= 0

f '''(0) = 6a

W(0/0), der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung

Avatar von 39 k

Vielen Dank für deine Antwort.


f ''( +√-b/(3a))  >0  -> Minimum

f''( +√-b/(3a)) <0 -> Maximum

Müsste da nicht

f ''( √-b/(3a))  >0  -> Minimum

f''( -√-b/(3a)) <0 -> Maximum

Da ich ja einmal + wurzel habe und einmal minus?

Da ich ja einmal + wurzel habe und einmal minus?

Ja, deswegen.

Die Wurzel selbst ist in beiden Fällen positiv.

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Die Extremstellen hast du. Allerdings hast du nicht überprüft, ob dort die zweite Ableitung ungleich 0 ist bzw. ob die erste Ableitung einen Vorzeichenwechsel hat.


Einen Wendepunkt (0,0) gibt es übrigens ...

(Was soll "Da die zweite Ableitung linear ist"? Sie kann 0 werden!)

Avatar von 55 k 🚀

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