Bestimmen Sie - in Abhängigkeit von a - alle lokalen Extremstellen der Funktion

Question

Text erkannt:

1. Aufgabe:
Es sei \( a \) eine reelle Zahl mit \( a>1 \). Bestimmen Sie - in Abhängigkeit von \( a \) - alle lokalen Extremstellen der Funktion
\( f(x)=\frac{1}{3} x^{3}+a x^{2}+x \)

Text erkannt:

1. Lokale Eitremstellen
\( \begin{array}{l} f(x)=\frac{1}{3} x^{3}+a x^{2}+x \\ f^{\prime}(x)=x^{2}+2 a x \text { Nullseteen } x^{2}+2 a x=01-x^{2} \\ 2 a x=-x^{2} \mid: x \\ f^{\prime \prime}(x)=2 x+2 a \\ 2 a=-x \\ =2 \cdot(-2 a)+2 a \\ x=-2 a \\ =-4 a+2 a \\ =-2 a<0 \text { Hochpankt } \\ \end{array} \)

Guten Morgen, stimmt die lokale Extremstelle -2a?

Comments

mache Dir ein Bild davon, was passiert, wenn sich der Wert des Parameters \(a\) verändert.

Die rote Kurve ist der Graph der Funktion \(f\) und die grüne der Graph ihrer Ableitung \(f'\).

Durch Verschieben des Punktes \(-a=\dots\) auf der X-Achse mit der Maus kannst Du den Wert für \(a\) ändern. Hinweis: Es wird der negative Wert von \(a\) angezeigt.

Answer 1

Funktion und Ableitungen

f(x) = 1/3·x^3 + a·x^2 + x
f'(x) = x^2 + 2·a·x + 1
f''(x) = 2·x + 2·a

Extremstellen

f'(x) = x^2 + 2·a·x + 1 = 0 → x = - a ± √(a^2 - 1) 

Extremstellen für a^2 - 1 > 0 → a > 1

Die kleinere Nullstelle hat einen VZW von + zu - und ist damit die Extremstelle des Hochpunktes.

Hochpunkt bei x = - a - √(a^2 - 1)
Tiefpunkt bei x = - a + √(a^2 - 1)

Comments

Danke für die Antwort. Aber ist bei dir der Hoch- und Tiefpunkt nicht gleich?

Answer 2

Deine erste Ableitung ist falsch,

Comments

Stimmt x abgeleitet wird noch 1.

Ist der Schritt den Richtig mit 1. Ableitung umstellen oder muss ich die pq formel anweden?

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Ja genau! pq-Formel oder Mitternachtsformel anwenden!

x₁=-a-\( \sqrt{a^2-1} \)   -> Hochpunkt

x₂=-a+\( \sqrt{a^2-1} \)  -> Tiefpunkt

Answer 3

f '(x) =0

x^2+2ax+1 =0

x1/2= -a+-√(a^2-1)

f''(x1) =

f''(x2) =