Bestimmen Sie - in Abhängigkeit von a - alle lokalen Extremstellen der Funktion

Question

Text erkannt:

1. Aufgabe:
Es sei \( a \) eine reelle Zahl mit \( a>1 \). Bestimmen Sie - in Abhängigkeit von \( a \) - alle lokalen Extremstellen der Funktion
\( f(x)=\frac{1}{3} x^{3}+a x^{2}+x \)

Text erkannt:

1. Lokale Eitremstellen
\( \begin{array}{l} f(x)=\frac{1}{3} x^{3}+a x^{2}+x \\ f^{\prime}(x)=x^{2}+2 a x \text { Nullseteen } x^{2}+2 a x=01-x^{2} \\ 2 a x=-x^{2} \mid: x \\ f^{\prime \prime}(x)=2 x+2 a \\ 2 a=-x \\ =2 \cdot(-2 a)+2 a \\ x=-2 a \\ =-4 a+2 a \\ =-2 a<0 \text { Hochpankt } \\ \end{array} \)

Guten Morgen, stimmt die lokale Extremstelle -2a?

Comments

mache Dir ein Bild davon, was passiert, wenn sich der Wert des Parameters \(a\) verändert.

https://www.desmos.com/calculator/k63uzg2mpc

Die rote Kurve ist der Graph der Funktion \(f\) und die grüne der Graph ihrer Ableitung \(f'\).

Durch Verschieben des Punktes \(-a=\dots\) auf der X-Achse mit der Maus kannst Du den Wert für \(a\) ändern. Hinweis: Es wird der negative Wert von \(a\) angezeigt.

Answer 1

Funktion und Ableitungen

f(x) = 1/3·x^3 + a·x^2 + x
f'(x) = x^2 + 2·a·x + 1
f''(x) = 2·x + 2·a

Extremstellen

f'(x) = x^2 + 2·a·x + 1 = 0 → x = - a ± √(a^2 - 1) 

Extremstellen für a^2 - 1 > 0 → a > 1

Die kleinere Nullstelle hat einen VZW von + zu - und ist damit die Extremstelle des Hochpunktes.

Hochpunkt bei x = - a - √(a^2 - 1)
Tiefpunkt bei x = - a + √(a^2 - 1)

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Danke für die Antwort. Aber ist bei dir der Hoch- und Tiefpunkt nicht gleich?

Answer 2

Deine erste Ableitung ist falsch,

Comments

Stimmt x abgeleitet wird noch 1.

Ist der Schritt den Richtig mit 1. Ableitung umstellen oder muss ich die pq formel anweden?

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Ja genau! pq-Formel oder Mitternachtsformel anwenden!

x₁=-a-\( \sqrt{a^2-1} \)   -> Hochpunkt

x₂=-a+\( \sqrt{a^2-1} \)  -> Tiefpunkt

Answer 3

f '(x) =0

x^2+2ax+1 =0

x1/2= -a+-√(a^2-1)

f''(x1) =

f''(x2) =