bestimmen sie das krümmungsverhalten des graphen bei der Funktion f(x)=x3-3x2

Question

Aufgabe:

bestimmen sie das krümmungsverhalten des graphen bei der Funktion f(x)=x3-3x2

Problem/Ansatz:

Ich bin mal wieder überfragt. Hoffe mir kann da jemand helfen

Comments

Stelle bitte zusammengehörige Fragen. Also fragen die dieselbe Funktion betreffen bitte auch zusammen.

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Diese Frage ist eine völlig andere als die referenzierte.

Daher hat diese Frage hier auch eine ganz andere Antwort als die vorige Frage.

Answer 1

Aloha :)

Über das Krümmungsverhalten einer Funktion gibt das Vorzeichen der zweiten Ableitung Auskunft. Ist die zweite Ableitung positiv, so ist die Kurve linksgekrümmt (konvex). Ist die zweite Ableitung negativ, ist die Kurve rechtsgekrümmt (konkav).

$$\small f(x)=x^3-3x^2\implies f'(x)=3x^2-6x\implies f''(x)=6x-6\implies \pink{f''(x)=6(x-1)}$$

Für \(x<1\) ist \(f''(x)<0\) und die Kurve daher rechtsgekrümmt (konkav).

Für \(x>1\) ist \(f''(x)>0\) und die Kurve daher linksgekrümmt (konvex).

Bei \(x=1\) ändert sich das Krümmungsverhalten, dort liegt ein Wendepunkt vor.

~plot~ x^3-3x^2 ; {1|-2} ; [[-2|4|-5|3]] ~plot~

Answer 2

f(x) = x^3 - 3·x^2
f'(x) = 3·x^2 - 6·x
f''(x) = 6·x - 6 ≥ 0 → x ≥ 1

Linksgekrümmt im Intervall [1 ; ∞[.

Rechtsgekrümmt im Intervall ]-∞ ; 1].