Welche Werte kann der Radius annehmen?

Question

Aufgabe:

Dies ist eine Aufgabe aus dem Känguru-Wettbewerb:

Gegeben ist ein Kreis mit Mittelpunkt M und ein Punkt P
außerhalb des Kreises. Der Punkt A ist der Schnittpunkt der
Strecke P M mit dem Kreis und B der Berührungspunkt einer
Tangente von P an den Kreis. Die Abstände |P A| und |MB| sind
ganzzahlig und es gilt |P B| = |P A|+6. Wie viele mögliche Werte
kann dann |MB| annehmen?

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass |MB | = |AM| = r ist. Ich habe es weder geschafft die Aufgabe zeichnerisch noch rechnerisch zu lösen. Wer kann mir ein paar Hinweise geben?

Answer 1

(PA+AM)²=PB² + MB²

und AM=MB und PB= PA + 6...

Comments

Danke.

Ich hatte zwar erkannt, dass mit PBM ein rechtwinkliges Dreieck vorliegt, habe aber nicht konsequent den Pythagoras angewendet, da ich nicht 2 bekannte Größen hatte. Wenn man deinen Ansatz nimmt und dann ausmultipliziert und vereinfacht, kommt man schließlcih zu der Gleichung:

|MB| = 12 + 18 / |PA|

Wenn man jetzt die Vorgabe berücksichtigt, dass |MB| ganzzahlig ist, kann |PA| nur die folgenden 6 Werte annehmen: 1; 2; 3; 6; 9; 18.

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Ich komme auf

|MB| = 6 + 18/|PA|

Damit muss |PA| einer der 6 Teiler von |MB| sein und somit kann |MB| genau 6 Werte annehmen.

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Ja, es ist |MB| = 6 + 18 / |PA| (hatte vergessen 12 duch 2 zu teilen), aber dies spielt für die Anzahl der Werte, die MB annehmen kann, keine Rolle: es bleibt bei 6 Werten.