Wie muss a/b gewählt werden?

Question

Gegeben sind 12 Punkte A(-a|b|0), B((a|b|0), C(a|-b|0), D(-a|-b|0), E(-a|0|b), F(a|0|b), G(a|0|-b), H(-a|0|-b), K(0|a|b), L(0|-a|b), M(0|a|-b), N(0|-a|-b). Kann \( \frac{a}{b} \) so gewählt werden, dass jeder der 12 Punkte von fünfen den gleichen Abstand hat? Welchen Wert hat dann \( \frac{a}{b} \)?

Comments

Zur Klärung :
Es sollte deutlich gemacht werden, dass wenn Punkt P von vier Punkten den Abstand x hat und Punkt Q von vier Punkten den Abstand y hat, dass dann verlangt wird, dass außerdem x=y ist.

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hj2166, vielen Dank für deinen klärenden Zusatz. Ich persönlich traue vielen Lösern auf dieser Seite zu, derartiges selbständig zu finden. Ein Wenig von dem, was du kannst, können auch andere.

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Ich bin gespannt, wie man das am elegantesten löst.

Answer 1

Hallo Roland,

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Die Lösung ist \(\frac{a}{b} = 1\). Folgendes Bild zeigt das:

(klick drauf!)

Die Forderung ist, dass z.B. das grüne Dreieck \(\triangle BKF\) ein gleichseitiges ist. Dann kann jeder Punkt aus der Ebene \(z=0\) (also \(A\), \(B\), \(C\) oder \(D\)) ein rotes Vierbein bilden und jeder Punkt aus den Ebenen \(z=\pm b\) ein lilanes Vierbein bilden.

Die zugehörige Rechnung (falls man das nicht so 'sieht' ;-) )$$B=(a|b|0)\\ F=(a|0|b)\\ K=(0|a|b)\\ \vec{BF} = \begin{pmatrix} a\\0\\b \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a\\b \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\-b \\ b \end{pmatrix}\\ \vec{BK} = \begin{pmatrix} 0\\a\\b \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a\\b \\ 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -a\\a-b \\ b \end{pmatrix}\\ \begin{aligned} |BF| &= |BK| \\ 2b^2 &= a^2+ (a-b)^2 + b^2 \\ 2b^2 &= a^2+ a^2-2ab + b^2 + b^2 \\ 0 &= 2a^2-2ab \\ \implies a &= b \\ \end{aligned} $$siehe auch Kuboktaeder.

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Comments

Danke, Werner für deine - natürlich richtige - Lösung. Leider ist mir auch bei dieser Aufgabestellung wieder etwas verunglückt. Jeder Eckpunkt soll nicht von vieren den gleichen Abstand haben, sondern von fünfen.

Ich habe dies nachträglich geändert. Ich denke, du kannst auch das lösen.

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Werner, muss der Ansatz nicht heißen

(2b)²=a²+(a-b)²+b²?

Dann wäre dein Ergebnis allerdings nicht richtig.

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muss der Ansatz nicht heißen
(2b)2=a2+(a-b)2+b2?

Nein - denn denn dann käme nicht das richtige Ergebnis raus, auf welches man auch ohne Rechnung kommt, wenn man sich das ganze in 3D vorstellen kann ;-)

Auf der linken Seite der Gleichung steht$$|\vec{BF}|^2 = \left<\begin{pmatrix} 0\\ -b\\ b\end{pmatrix},\,\begin{pmatrix} 0\\ -b\\ b\end{pmatrix}\right> = 0^2+(-b)^2 + b^2 = 2b^2$$