Crowd-Funding: Spendenverlauf lässt sich durch die Funktion E(t) = 0,4t^3-20,4t^2+270t+50 angemessen modellieren

Question

"Crowd-Funding" ist eine Methode, um for ein bestimmtes Projekt viele (oft kleinere) Spenden einzuwerben, weil z. B. bei Banken kein Kredit dafor zu bekommen ist. Heutzutage geschieht Crowd-Funding meist durch das Internet. Die nur in Insiderkreisen bekannte Heavy-Metal-Kapelle „Abelsche Gruppe" möchte nach ihrem ersten Album "Kommutativ!" mit einer weiteren CD den intemationalen Durchbruch schaffen und richtet eine Website ein, über die einen Monat lang gespendet werden soll.

Die Spender sollen als Anreiz eine Sonderausgabe des neuen Werkes "Magic Permutations" (mit Bonustracks und Widmung) bekommen. Damit der Spendenstand nicht bel "0" beginnt, werden beim Start der Aktion schon einmal 50 Euro von der Band selbst "gespendet".

Der Spendenverlauf lasst sich durch die Funktion

\( E(t)=0,4 t^{3}-20,4 t^{2}+270 t+50 \quad 0 \leqslant t \leqslant 30 \)

t: Tage nach Freischaltung der Website
E(t): Einnahmen in Euro am Tag t

angemessen modellieren.

a) Beschreiben Sie den Verlauf des Graphen im Sachzusammenhang.

b) Bestimmen Sie die Werte \( E^{\prime}(2) \) und \( E^{\prime}(10) \) und geben Sie deren Bedeutung im Sachzusammenhang an.

c) Bestimmen Sie den Zeitpunkt mit der grobten Tageseinnahme und den an diesem Tag erzietten Betrag.

d) In der Phase, in der die Spendenbereitschaft standig zuruck geht, wird ein neues Video der \( _{n} \) "Abelschen Gruppe" auf Youtube eingespielt, verbunden mit dem Hinweis auf die laufende Aktion. Sofort steigt das Spendenvolumen wieder. Bestimmen Sie diesen Zeitpunkt sowie die Mehreinnahmen an den beiden folgenden Tagen.

e) Bestimmen Sie den Wendepunkt von E(t) und geben Sie dessen Bedeutung for den Spendenverlauf an.

f) Der erste Vertrag mit dem Studio kann mit einem Kapital von 15.000 Euro abgeschlossen werden. Begründen Sie anhand des Graphen, ob dieses Ziel am Ende des Monats erreicht ist.

Answer 1

 

die Funktion E(t) - dies ist keine Funktionenschar! - beschreibt die Einnahmen in Euro pro Tag: 

E(t) = 0,4t³ - 20,4t² + 270t + 50

E'(t) = 1,2t² - 40,8t + 270

E''(t) = 2,4t - 40,8

E'''(t) = 2,4

a)

Am Tag 0 werden von der Band selbst 50 Euro "gespendet", so dass E(0) = 50 ist.

Dann werden die täglichen Spenden immer mehr bis zum 9. Tag, an dem mehr als 1000 Euro gespendet werden. Dann werden die Spenden bis zum 25. Tag kontinuierlich weniger und steigen dann wieder, nachdem ein neues Video auf youtube eingestellt wurde.

 

b)

E'(2) = 1,2 * 4 - 40,8 * 2 + 270 = 193,20

E'(10) = 1,2 * 100 - 40,8 * 10 + 270 = -18

Am 2. Tag ist eine starke Zunahme des Spendeneingangs festzustellen; am 10. Tag dagegen gibt es eine Abnahme des Spendeneingangs.

 

c)

Zeitpunkt mit der größten Tageseinnahme:

E'(t) = 0

1,2t² - 40,8t + 270 = 0 | :1,2

t² - 34 + 225 = 0 | pq-Formel

t_1,2 = 17 ± √(289 - 225) = 17 ± √64 = 17 ± 8

t₁ = 25

t₂ = 9

E''(25) = 2,4 * 25 - 40,8 = 19,2 > 0, also Minimum an Tag 25

E''(9) = 2,4 * 9 - 40,8 < 0, also Maximum an Tag 9

Wieviel wird an diesem Tag eingenommen?

E(9) = 0,4 * 9³ - 20,4 * 9² + 270 * 9 + 50 = 1119,20 (Euro)

 

Rest folgt bei Interesse :-)

 

Besten Gruß

Comments

Das dachte ich mir :-D

 

d)

Die Einnahmen sind auf ein lokales Minimum am Tag 25 gesunken, wie in c) berechnet.

An diesem Tag wurden lediglich E(25) Euro gespendet, also

E(25) = 0,4 * 25³ - 20,4 * 25² + 270 * 25 + 50 = 300

Einnahmen an Tag (26):

E(26) = 0,4 * 26³ - 20,4 * 26² + 270 * 26 + 50 = 310, also 10 Euro mehr als an Tag 25

Einnahmen an Tag (27):

E(27) = 0,4 * 27³ - 20,4 * 27² + 270 * 27 + 50 = 341,60, also 41,60 Euro mehr als an Tag 25

 

e)

Wendepunkt: E''(t) = 0, E'''(t) ≠ 0

E''(t) = 2,4t - 40,8 = 0 | +40,8

2,4t = 40,8 | :2,4

t = 17

E'''(17) = 2,4 ≠ 0

Der Wendepunkt ist also

W(17|E(17)) = W(17|709,60)

Die Abnahme der Spendeneinnahmen war am Tag 17 maximal. Zwar wurde in den Folgetagen bis zum Tag 25 noch weniger gespendet, aber "so steil bergab" ging es nie wieder :-)

 

f)

Sind am 30. Tag insgesamt 15000 Euro oder mehr eingegangen?

Dazu müssen wir das Integral von 0 bis 30 berechnen.

Eine Stammfunktion von E(t) =

E_S(t) = 0,1 * t⁴ - 6,8 * t³ + 135t² + 50t

{Normalerweise wird die Stammfunktion mit einem großen Buchstaben gekennzeichnet, aber den haben wir ja schon bei E(t) vergeben :-) }

Das Integral berechnen wir jetzt so:

E_S(30) - E_S(0) =

20400

Wenn ich mich nicht verrechnet habe, sollte die Band also am 30. Tag 20400 Euro zur Verfügung haben.

 

Bitte nachrechnen und bei eventuellen Fehlern oder Rückfragen einfach nochmal melden :-)

 

Besten Gruß

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ich habe eine frage zur f)

muss man das mit integral rechnen? weil wir noch nicht mit integral in der schule angefangen haben.

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Ich war selbst etwas verwirrt, weil mein Ergebnis der Integralrechnung von einem Online-Integral-Rechner bestätigt wurde und ich bei einer anderen Herangehensweise ein abweichendes Ergebnis hatte.


Prinzipiell sollte man nämlich auch rechnen können:

E(0) = 50

+

E(1) = 300

+

E(2) = 511,60

+

.

.

.

+

E(30) = 590

Die Summe dieser 31 Summanden entspricht dann dem gesamten gespendeten Betrag.

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Ich wüsste nicht :-(

Aber mit einem vernünftigen Taschenrechner hält sich der Aufwand in Grenzen: Du musst ja immer nur t³, t² und t in der Formel ersetzen :-D

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kannst du mir hier auch helfen? https://www.mathelounge.de/103144/aufgaben-zur-funktionenschar


zwar hat georgborn schon geantwortet aber ich blick da nicht durch

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Mach ich gerne - aber Du musst Dich ein wenig gedulden !!!