Zeigen Sie dass die Funktion t•x^3+(-1-4t)•x^2+(4t+4)•x zwei Fixpunkte besitzt

Question

Ich hab mal wieder eine frage zu meiner Hausaufgabe. Ich Check es einfach nicht und habe es jetzt mittlerweile schon echt lange versucht. Leider ist mein Nachhilfelehrer heute krank.

Die Funktion: t•x^3+(-1-4t)•x^2+(4t+4)•x

a) zeigen Sie dass die Funktion 2 fixpunkte besitzt und bestimmen Sie deren Koordinaten

B) untersuchen Sie ft hinsichtlich der Anzahl der nullstellen in Abhängigkeit von t

Könntet ihr mir das vielleicht schritt für schritt und haargenau erklären, wie ich da vorgehen muss ?

Vielen Dank

Comments

Wir sollen es jedoch so machen , dass ft(x)= fL(x) wird

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Vom Duplikat:

Titel: Fixpunkte, funktionsscharen

Stichworte: funktionenschar,fixpunkt,funktion,parameter

ich komm hier einfach mit meiner Hausaufgabe nicht weiter.

Ich muss Nummer b und c machen und weiß einfach nicht weiter.

Das erste Bild zeigt die Aufgabenstellung und das geschriebene auf dem Bild zeigt meinen Ansatz für Nummer b (wobei wir dies so machen müssen also den Ansatz)

Könntet ihr mir das schritt für schritt erklären wie ich vorgehen muss ? Vielen Dank

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Tipp: Für alle \(t\in\mathbb R\) gilt \(f_t(0)=0\) sowie \(f_t(2)=4\).

Answer 1

Die Funktion: t•x³+(-1-4t)•x²+(4t+4)•x 

a) zeigen Sie dass die Funktion 2 fixpunkte besitzt und bestimmen Sie deren Koordinaten

Ein Fixpunkt ist ein Punkt für den gilt
f ( x ) = x

Das Matheprogramm sagt also
für t = 0 : 2 Fixpunkte

für t ≠ 0 : 3 Fixpunkte

Stimmt die von dir angegebene Funktion ?
Bevor ich weiter rechne sollte dies gelärt sein.
Kannst du ein Foto der Aufgabe / Lösung
einstellen ?

Comments

Hab ein Bild Reingestellt. Wir sollen es jedoch so machen, dass wir t mit l gleich setzen also ft(x)=fl(x) und das dann =0

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Hallo Georg,

mit t > 1/4  hat die Wurzel bei den Lösungen dann aber in ℝ Probleme.

(meinem Matheprogramm ist das aber auch egal :-))

Gruß Wolfgang

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Hallo paulina,

ich nehme an du mußt / willst die Aufgabe zu Fuß
lösen

Für einen Fixpunkt gilt
( nach meinen Recherchen )
f ( x ) = x

t*x^3+(-1-4*t)*x^2+(4*t+4)*x = x  | : x

t*x^2+(-1-4*t)*x+(4*t+4) = 1
t*x^2 + (-1-4*t)*x = 1 - (4*t+4)
t*x^2 + (-1-4*t) * x = 4*t - 3

Dies kann mit der Mitternachtsformel, pq-Formel
oder der quadratischen Ergänzung gelöst werden:

Mein Matheprogramm meint

Hier kommen allerdings recht ungewöhnliche Lösungen
heraus, die zu Fuß nur schwer zu berechnen sind.

Hier der Graph  von
t = -2 ( blau )
t = 0 ( grün )
t = 2 ( rot )

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So dachte ich das auch , aber wir sollen das genau so machen wie auf dem Bild oben. Gibt es dafür auch eine Lösung ? 

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Das ist so ungefähr der erste Schritt und danach komme ich nicht weiter 

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Als Fixpunkte in dieser Aufgabe gelten alle Punkte
der Kurvenschar welche die gleichen Koordinaten
haben.

f _t ( x ) = f _l ( x )

Es kommt heraus
x = 0
und x = 2 ( siehe den Graph )

Anmerkung : einige Umformungsschritte wurden zusammen-
gefasst.

Bei Unklarheiten bitte nachfragen.
Ansonsten geht es morgen mit den Nullstellen
weiter.

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Danke Danke Danke !

Das hat mir wirklich sehr geholfen !

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In der Aufgabenstellung wäre es einfacher
gewesen zu formulieren :

Berechnen sie die Koordinaten der Punkte
durch die alle Funktionen der Funktionsschar
laufen.

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Ich denke, dass wäre für das, was erwartet wurde, sogar die einzig richtige Formulierung.

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Hallo Paulina,
Nullstellen
zunächst einmal x ausklammern
( ... ) * x = 0
Den Satz vom Nullprodukt anwenden ergibt
x = 0
Der Rest ergibt eine quadratische Gleichung

Die 2.Lösung und .3 Lösung sind identisch
wenn man die 2.Lösung mit 2 erweitert.
Es heißt allerdings einmal minus Wurzel
und einmal plus Wurzel.

Anzahl der Nullstellen :
x = 0 gibt es immer ( 1.Lösung )

Wichtig ist dann der Term in der Wurzel
1 - t * 8
Ist dieser

- 1 - 8 * t < 0 ( negativ ) gibt es keine weitere
Lösung

- 1 - 8 * t = 0 dann sind Lösung 2 und 3
identisch => 1 weitere Lösung

- 1 - 8 * t > 0  dann sind Lösung 2 und 3
nicht identisch => 2 weitere Lösungen

Answer 2

$$f_p(x)=f_q(x)$$$$px^3+(-1-4p)x^2+(4p+4)x=qx^3+(-1-4q)x^2+(4q+4)x$$$$(p-q)x^3-4(p-q)x^2+4(p-q)x=0$$$$(p-q)x(x-2)^2=0.$$

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Vielen lieben Dank ! Weißt du auch wie c funktioniert ?

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\(f_t(x)=0\)
\(x\cdot\big(tx^2+(-1-4t)x+(4t+4)\big)=0\)
(1)  \(x_1=0\) für alle \(t\).
(2)  \(tx^2+(-1-4t)x+(4t+4)=0\)
\(\quad\)  Bestimme die Anzahl der Nullstellen mithilfe der Diskriminante (abc-Formel).

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Kann man da einfach ausklammern ?? Ich dachte das geht nur wenn alle mit x multipliziert werden

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Quadratische Gleichungen:

ax² + bx + c = 0

abc-Formel:  a = t  , b = -1 - 4t  ,  c = 4t+4

x_1,2 = ( - b ± \(\sqrt[]{b^2-4ac}\)) / (2a)

Diskriminante = b^2- 4ac  muss ≥ 0 sein

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Das ist hier der Fall, denn das Absolutglied ist Null: \(f_t(x)=t\color{red}x^3+(-1-4t)\color{red}x^2+(4t+4)\color{red}x\). Daher kann man \(x\) ausklammern.