Zyklische Prozesse: Wie berechne ich diese Aufgabe?

Question

Aufgabe:

In der Mensa einer Universität stehen täglich drei Essen zur Auswahl: ein vegetarisches (V), ein einfaches nichtvegetarisches (E) und ein teureres nichtvegetarisches (T).
Die Küchenleitung rechnet damit, dass die Studierenden von Tag zu Tag zwischen den Angeboten wechseln. Von denen, die am Vortag das vegetarische Gericht gegessen hatten, wechseln am nächsten Tag je 10% zu den beiden nichtvegetarischen Gerichten; von denen, die am Vortag das einfache nichtvegetarische Essen gewählt hatten, nehmen am folgenden Tag 20% das vegetarische und 10% das teurere nichtvegetarische; diejenigen, die sich am Vortag für das teurere Angebot entschieden hatten, wechseln am nächsten Tag zu 10% zum vegetarischen und zu 40% zum einfachen nichtvegetarischen Essen.
Am zweiten Montag des Semesters aßen 800 Studierende das vegetarische, 1000 das
einfache nichtvegetarische und 600 das teurere nichtvegetarisches Essen (Start).

Berechnen Sie mithilfe der Übergangsmatrix, wie viele Studierende am Dienstag, Mittwoch, Donnerstag und Freitag jeweils die drei Essensangebote wahrnehmen.

Answer 1

\( \begin{pmatrix} 0,8 & 0,1 & 0,1\\ 0.2 & 0,7 & 0,1\\0,1 & 0,4 & 0,5\end{pmatrix} \)·\( \begin{pmatrix} 800\\1000\\600\end{pmatrix} \)    

Answer 2

Für Dienstag und Mittwoch sieht es wie folgt aus:

$$\begin{pmatrix} 0.8 & 0.2 & 0.1 \\ 0.1 & 0.7 & 0.4 \\ 0.1 & 0.1 & 0.5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 800\\1000\\600 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 900\\1020\\480 \end{pmatrix} \newline \begin{pmatrix} 0.8 & 0.2 & 0.1 \\ 0.1 & 0.7 & 0.4 \\ 0.1 & 0.1 & 0.5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 900\\1020\\480 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 972\\996\\432 \end{pmatrix}$$

Willst du es mal für Donnerstag und Freitag alleine probieren?

Comments

Kleiner Tipp: Nach dem Multiplizieren kannst du die Summe der Einträge im Vektor bilden. Du solltest wieder auf 2400 Studierende kommen.

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Könnest du es mir vielleicht erklären warum du das genau so berechnet hast, also in dieser Konstellation da oben :), weil irgendwie kampiere ich den Rechenweg dahinter nicht :/

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Hast du Probleme die Matrix aufzustellen oder hast du nur das Problem das Produkt aus Matrix und Vektor zu bestimmen. Wo liegen genau deine Verständnisschwierigkeiten?

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Ich habe das Problem das Produkt aus Matrix und Vektor zu bestimmen für die Jeweiligen Tage.

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Ich empfehle das falksche Schema

https://de.wikipedia.org/wiki/Falksches_Schema

Probier das mal aus. Das ist sehr leicht.

Schau dir bei Bedarf auch Videos dazu bei Youtube an.

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Ich verstehe nicht warum wir für Mittwoch die Übergangsmatrix mal die den Spaltenvektor( von Dienstag) nehmen

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Die Matrix beschreibt das Wechselverhalten von einem Tag zum nächsten. Man braucht also immer das Verhalten von einem Tag um das Verhalten am nächsten Tag zu berechnen.

Aus dem Verhalten am Montag berechnet man das Verhalten am Dienstag.

Aus dem Verhalten am Dienstag berechnet man das Verhalten am Mittwoch.

Aus dem Verhalten am Mittwoch berechnet man das Verhalten am Donnerstag.

... usw.

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meine Übergangsmatrix sieht aber so aus A = \( \begin{pmatrix} 0,8 & 0,1 & 0,1 \\ 0,2 & 0,7 & 0,1\\ 0,1 & 0,4 & 0,5\end{pmatrix} \)

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Oder hab ich da was falsch ???

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Dann multipliziere mal mit deiner Matrix. Das kannst du ja probehalber machen

$$\begin{pmatrix} 0.8 & 0.1 & 0.1 \\ 0.2 & 0.7 & 0.1 \\ 0.1 & 0.4 & 0.5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 800\\1000\\600 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 800\\920\\780 \end{pmatrix}$$

Nun hatten wir das Essverhalten von 2400 Studenten am Montag aber am Dienstag essen 800 + 920 + 780 = 2500 Personen. Das kann ja nicht sein. Denn die Zahl der Studenten, die essen, soll doch gleich bleiben und sich nur anders verteilen.

Daher mein kleiner Tipp von oben nochmal

Kleiner Tipp: Nach dem Multiplizieren kannst du die Summe der Einträge im Vektor bilden. Du solltest wieder auf 2400 Studierende kommen.

Du brauchst bei solchen Prozessen eine stochastische Matrix. Die erkennst du daran, dass alle Einträge im Bereich von 0 bis 1 haben, und die Spaltensumme immer 1 ist.

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Aber müssen nicht die Zeilen der Übergangsmatrix jeweils 1 ergeben, steht so in meinem Schulbuch ?

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Aber müssen nicht die Zeilen der Übergangsmatrix jeweils 1 ergeben, steht so in meinem Schulbuch ?

Dann arbeitet ihr aber auch mit Zeilenvektoren für die Verteilungsvektoren. In der Schule ist das eher unüblich. Dann hast du eine Matrix die zeilenstochastisch ist.

Dann rechnest du aber Zeilenvektor mal Übergansmatrix. Üblicher in Abituraufgaben die ja eigentlich Poolaufgaben sind sind spaltenstochastische Matritzen und Spaltenvektoren für die Verteilungen.

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Ansonsten kann ich empfehle sich mal Grundlagenvideos zu den Themen anzusehen.

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Aber müssen nicht die Zeilen der Übergangsmatrix jeweils 1 ergeben, steht so in meinem Schulbuch ?

Sollte das tatsächlich so in einem aktuellen Schulbuch stehen wäre ich an der ISBN interessiert und evtl. ein Bild der Seite. Das kannst du mir gerne über Whatsapp zur Verfügung stellen. Dazu klickst du unter meiner Antwort einfach für Nachhilfe buchen. Dann kannst du mir dort eine Whatsapp Nachricht schreiben.

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Das ist mit Rolands Rechnung NICHT der Fall.

@Mathecoach
Warum lässt du dann Rolands Antwort unkommentiert?

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Gegenfrage: Warum kommentierst du sie nicht?

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Aber müssen nicht die Zeilen der Übergangsmatrix jeweils 1 ergeben, steht so in meinem Schulbuch ?

Sollte das tatsächlich so in einem aktuellen Schulbuch stehen wäre ich an der ISBN interessiert

Ott, Roland; Bohner, Kurt; Deusch, Ronald: "Mathematik für das Berufskolleg - Berufliches Gymnasium Jahrgangsstufen 12 und 13 (NRW)", Merkur-Verlag, 2018.

Ich hab's in der dazugehörigen Formelsammlung gelesen: https://www.merkur-verlag.de/formelsammlung-fuer-das-berufskolleg-berufliches-gymnasium. Aber ich denke die zwei Werke sind aufeinander abgestimmt.