Kein gutes Verständnis über Binominalexperiment-Aufgaben

Question

Aufgabe:

Bei einer Multiple-Choice-Aufgabe der Matheklausur gibt es sechs Ankreuzfragen. Marcus hat keine Ahnung und kreuzt bei jeder Aufgabe irgendetwas an.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er mehr richtige als falsche Kreuze gesetzt hat,
a) wenn es pro Frage zwei Ankreuzmöglichkeiten gibt,

b) wenn es pro Frage drei Ankreuzmöglichkeiten gibt?

Problem/Ansatz:

Zunächst verstehe ich nicht, dass es sich hierbei um einen Binominalexperiment handelt. Wie kann/soll ich am besten sowas erkennen?

Dann verstehe ich nicht, wieso man * pⁿ * (1-p)^n-k zusätzlich zu der Binomialverteilung macht? Also, die Lösung fängt ja so an: (6 über 4) * p⁴ * (1-p)^6-4 + (6 über 5) * p⁵ * (1-p)^6-5 ...

Und dann die eigentliche Berechnung zu der Wahrscheinlichkeit:

(15 + 6 + 1) * (1/2)⁶. Die (1/2)⁶ könnte ich mir wahrscheinlich noch erklären können, wieso aber 15 + 6 + 1?

Bei der b) verstehe ich leider gar nichts.

Da steht 15 * (1/3)^4 * (2/3)^2 + 6 * (1/3)^5 * 2/3 + (1/3)^6

Comments

Zunächst solltest Du Dir die Definition der Binomialkoeffizienten anschauen.....

Answer 1

Bernoulli Experiment wenn:

Es gibt Treffer/ nicht Treffer, unendlich oft wiederholbar und die Wahrscheinlichkeit (p) für einen Treffer ist konstant.

Hier: Treffer: Richtige Antwort

         p: bei a) 0,5 bei b) 1/3

unendlich oft wiederholbar, da man unendliche viele Fragen stellen kann.

zu a) mehr richtige als falsche: Die Kettenlänge n = 6 (Wegen 6 Fragen)

                                                                             k=4,5,6, denn es müssen mehr richtige als Falsche sein.

also (6 über 4)+0,5^4*0,5^2+...+(6 über 6)*0,5^6=0,34375

zu b) dasselbe nur mit p=1/3 und q=2/3

Ergebnis=0,1 ungefähr

Text erkannt:

\( \left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)=\frac{n !}{k ! \cdot(n-k) !} \)

                        

Answer 2

Eine Bernoulliverteilung hat man immer bei einer Kette mit n gleichartigen Bernoulli-Versuchen, bei denen nur interessiert, ob ein bestimmtes Ereignis mit einer konstanten Wahrscheinlichkeit p eintritt oder auch nicht.

Bei einer Multiple-Choice-Aufgabe der Matheklausur gibt es sechs Ankreuzfragen. Marcus hat keine Ahnung und kreuzt bei jeder Aufgabe irgendetwas an.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er mehr richtige als falsche Kreuze gesetzt hat,

Wir gehen davon aus, dass nur eine Antwort jeweils richtig ist. D.h. bei zwei Antwortmöglichkeiten ist die Wahrscheinlichkeit 1/2 das Kreuz richtig zu setzen und bei drei Antwortmöglichkeiten ist die Wahrscheinlichkeit 1/3.

Damit man mehr richtig als falsch beantwortet hat, braucht man bei 6 Fragen 4, 5 oder 6 richtige Antworten

a) wenn es pro Frage zwei Ankreuzmöglichkeiten gibt,

P(X ≥ 4) = (6 über 4)·(1/2)^4·(1/2)^2 + (6 über 5)·(1/2)^5·(1/2) + (6 über 6)·(1/2)^6·(1/2)^0
P(X ≥ 4) = 15·(1/2)^4·(1/2)^2 + 6·(1/2)^5·(1/2) + (1/2)^6
P(X ≥ 4) = 15·(1/2)^6 + 6·(1/2)^6 + (1/2)^6
P(X ≥ 4) = 22·(1/2)^6 = 11/32 = 0.3438

b) wenn es pro Frage drei Ankreuzmöglichkeiten gibt?

P(X ≥ 4) = (6 über 4)·(1/3)^4·(2/3)^2 + (6 über 5)·(1/3)^5·(2/3) + (6 über 6)·(1/3)^6·(2/3)^0
P(X ≥ 4) = 15·(1/3)^4·(2/3)^2 + 6·(1/3)^5·(2/3) + (1/3)^6 = 73/729 = 0.1001

Wenn etwas unklar ist, sag nochmal genau, was du nicht verstehst.

Answer 3

b)

mit dem Gegenereignis:

P(X>3) = 1-P(X<=3)

= 1- (2/3)^6 + 6*(1/3)^1*(2/3)^5 + (6über2)*(1/3)^2*(2/3)^4+ (6über3)*(1/3)^3*(2/3)^3 = 0.1001 = 10,01%