Lineare Unabhängigkeit von Abbildungen testen

Question

Die Frage: Ist die angegebene Teilmenge des ℝ-Vektorraums linear unabhängig?

{x → sin(2x), x → sin(4x), x → sin(8x)} ⊆ Abb(ℝ, ℝ)

Nun ist es so, dass man bei normalen Vektoren ja einfach testen kann, ob man eine Linearkombination aus ihnen bilden kann, die nicht auf triviale Art und Weise den Nullvektor bildet. Wenn ja, dann sind sie linear abhängig.

Aber ich verstehe nicht, wie ich bei diesen Funktionen vorgehen soll. Muss man die Funktionen dann mit einer Zahl multiplizieren um dies zu testen, oder muss man in diesem Fall x in die Funktion einsetzen lassen, und nur wenn jedes x = 0 sein muss, damit die Abbildungen addiert auch 0 ergeben, dann ist die Teilmenge linear unabhängig?

Answer 1

Deine Überlegung ist grundsätzlich richtig. Du musst aus

\(a\sin (2x)+b\sin(4x)+c\sin(8x)=0\) für alle \(x\)

schließen, dass \(a=b=c=0\) ist. Falls die drei Funktionen linear unabhängig sind. Wenn diese Folgerung nicht möglich ist, d.h. es gibt \(a,b,c\), nicht alle drei gleich 0, so dass die Gleichung erfüllt ist, sind die drei Funktionen linear abhängig.

Der Punkt ist hier, dass die Gleichung für alle \(x\) gelten soll.

Du kannst also insb. Dir mal \(x\)-Werte ausdenken und diese einsetzen. Dann erhältst Du für jedes eingesetzte \(x\) eine Gleichung. Hast Du drei Gleichungen zusammen, kannst Du sie nach \(a,b,c\) auflösen (LGS mit drei Gleichungen und drei Unbekannte, \(x\)'e sind keine mehr drin).

Probier mal.

Comments

Es würde doch dann eigentlich schon reichen einfach x = 0 zu setzen, dann wird aus allen drei Abbildungen die Nullabbildung. Diese drei Nullabbildungen kann man nun mit drei Koeffizienten a, b, c beliebig skalieren und es kommt trotzdem die 0 raus. Es müsste also eine lineare Abhängigkeit vorliegen, zumindest für ein x.

ABER laut den Lösungen, müsste das ganze linear unabhängig sein. Das verstehe ich nicht.

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Aus der Gleichung ....=0 musst Du zwingend a=b=c=0 folgern. Es ist keine Gleichung zu zeigen, sondern etwas zu folgern.

Mit x=0 wird aus sin(2x) auch keine Nullabbildung, sondern eine Zahl. Unterscheide zwischen Funktionen und Funktionswerten. Mit x=0 erhält man 0=0, kannst Du daraus a=b=c=0 folgern?

Korrektes Vorgehen s.o.

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Wäre der folgende Ansatz richtig? Ich weiß nicht, ob ich den Lösungsansatz korrekt verstanden habe.

Wähle x₁ = 0, x₂ = 0.5*π, x₃ = -0.5*π

Dann lauten die Gleichungen:

\(a\sin (2*(0))+b\sin(4*(0))+c\sin(8*(0))=0\)

\(a\sin (2(0.5*π))+b\sin(4(0.5*π))+c\sin(8(0.5*π))=0\)

\(a\sin (2(-0.5*π))+b\sin(4(-0.5*π))+c\sin(8(-0.5*π))=0\)

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Jetzt geht es in die richtige Richtung. Vereinfache die Gleichungen mal (sollte ohne TR gehen). Dann kannst Du beurteilen, ob die drei gewählten x'e sinnvoll sind.

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Ich sehe gerade, dass Dir der kleine Druckfehler von Nudger nicht aufgefallen ist: Beim zweiten sinus-Term (mit dem Faktor b) ist das Argument 4x, nicht 2x.

Im übrigen ist doch Deine erste Zeile nur 0=0 daraus kann nichts folgen.

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Aber selbst wenn ich aus diesen drei x'en schlussfolgern könnte, dass a = b = c ungleich 0 sein können, bedeutet das nicht, dass das Gesamte auch linear abhängig sein muss? Also solange ich 3 x'e finde, bei denen es sich nur durch a = b = c = 0 lösen lässt, ist das Ganze linear unabhängig?

Ich verstehe gerade noch nicht so ganz ob ich nur ein Beispiel für die lineare Unabhängigkeit oder nur ein Beispiel für die lineare Abhängigkeit finden muss um diese zu beweisen.

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@mathhilf danke, hab's korrigiert. 0=0 wurde schon gesagt.

@FragenfürdieUni Mach nicht soviel "was wäre wenn", sondern gehe Schritt-für-Schritt vor. Dann wird alles klarer. Du bist auf dem richtigen Weg. Aber sinnvollerweise kommt Schritt 2 erst nach Schritt 1. Vereinfache nun.

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@Mathhilf Danke, für die Korrektur. aus allen drei Gleichungen folgt sogar 0 = 0, ich habe das extra so gewählt, weil man dann beliebige a's, b's und c's einsetzen kann. Aber ich glaube ich habe das falsch verstanden. Bei den Aufgaben, welche wir bis jetzt gelöst haben, musste man immer nur ein Beispiel für eine lineare Abhängigkeit finden um diese zu beweisen. Jetzt scheint es aber irgendwie anders rum zu sein. Ich muss drei x finden, für welche das Ganze linear unabhängig ist. Das verwirrt mich gerade ein bisschen.

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Gleichungen sind nicht linear unabhängig, sondern Funktionen. Das ist aber Schritt 3 (frühestens). Nochmal: drei Gleichungen (LGS) \(\implies\) a=b=c=0. Das ist das Ziel. Wir sind bei den drei Gleichungen. Und das LGS 0=0, 0=0, 0=0 hat nicht die einzige Lösung a=b=c=0.

Also, wie zu Anfang gesagt, nimm drei x-Werte. Wenn Dir keine einfallen, nimm einen Würfel und wirf dreimal.

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Nochmal: Die logische Kette ist: für alle x gilt \(af_1(x)+bf_2(x)+cf_3(x)=0 \implies\)

für x=..., x=... und x=... gilt: drei Gleichungen, entstehen durch Einsetzen und Vereinfachen \(\implies a=b=c=0\).

Das letzte \(\implies\) aber nur, wenn \(f_1, f_2, f_3\) linear unabhängig sind. Das sehen wir dann, wenn's soweit ist.

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Ok ich habe es tatsächlich geschafft mit x₁ = 1, x₂ = 2, x₃ = 3 ein LGS zu erschaffen, welches ich mit dem Gauß-Algorithmus auf Zeilenstufenform gebracht habe. Somit müssen die einzelnen Funktionen linear unabhängig sein, korrekt?

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Gut. Wenn es eine richtige ZSF ist (mit Diagonalelementen ungleich 0), dann ist garantiert, dass die einzige Lösung a=b=c=0 ist, was wir ja wollen (für lin. unabh.).

Vielleicht merkst Du ja auch, dass es auch noch andere Möglichkeiten gibt für x1,x2,x3, die zum gleichen Ziel führen. Sogar ziemlich viele. Nur eben nicht solche, wo nach Vereinfachung die Gleichungen 0=0 lauten.

Und Du kannst auch schon ahnen, dass es auch mit drei anderen Funktionen gehen würde (nicht mit beliebigen), solche Aufgaben kommen evtl auch noch auf Dich zu.

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Vielen Dank für die Hilfe!

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Vielleicht noch ein Tipp: Man kann versuchen, die x geschickt zu wählen. Versuchen es mal mit \(x=\pi/4\)