Welche der Aussagen sind richtig? lineare Unabhängigkeit und lineare Abbildungen

Question

Aufgabe:

Sei f eine lineare Abbildung von einem Vektorraum V nach V , und sei B eine
Basis des Kernes von f. Seien weiters b, c ∈ V \ [B] verschieden.
(A) Wenn {b, c} linear unabhängig ist, so gilt f(b) ≠ f(c).
(B) Wenn {b, c} ∪ B linear unabhängig ist, so gilt f(b) ≠f(c).
(C) Wenn {b, c} linear abhängig ist, so gilt f(b) ≠ f(c).

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Answer 1

Eine lineare Abbildung ist eindeutig durch die Bilder der Basisvektoren bestimmt.

Wenn {b, c} linear unabhängig ist

Dann ist \(\{b,c\} \cup B\) linear unabhängig, weil

        \(\begin{aligned} \sum_{v\in B}a_{v} v+a_{b}b+a_{c}c & =0\\ \implies\qquad\sum_{v\in B}a_{v} v & =-a_{b}b-a_{c}c\\ \implies\qquad\sum_{v\in B}a_{v} v & =0\,\wedge\,-a_{b}b-a_{c}c=0\\ \implies\qquad\phantom{\sum_{v\in B}v}a_{v} & =0\wedge\,a_{b}=0\wedge a_{c}=0 \end{aligned}\)

wegen \([B]\cap [\{b,c\}] = \{0\}\) wegen \(b, c \in V\setminus [B]\).

Wenn {b, c} ∪ B linear unabhängig ist,

Siehe (A)

Wenn {b, c} linear abhängig ist

Dann gibt es ein \(a\neq 0\) mit \(a\cdot b = c\), weil \(b,c\neq 0\).