Lineare Unabhängigkeit und Determinante

Question

Habe ich das richtig?

Text erkannt:

Sei \( B \in \mathbb{R}^{n \times k} \) eine Mahrx mit Spallen \( a_{1}, a_{k} \in \mathbb{R}^{n} \& \) sei \( A=B^{t} B \in \mathbb{R}^{k \times k} \) mit \( B^{t} \in \mathbb{R}^{k \times n} \) Zeige. \( a_{11} \) ax sind genau damm linear unabhangg, wenn \( \operatorname{det}(\mathcal{)} \neq 0 \) gilt.

Beweis. Sei o.E. \( n>k \). Es gilt rank \( (B) \leq \) minin,\( k\}=k \).
Seien au , ak linear unabhangg, dann ist rang \( (B)=k \). Ebentalls gilt rang \( (B t)=k \) wegen der Definition. Sei \( x \in K e m(A) \subset \mathbb{R}^{*} \) Dann gilt \( A x=0 \). Also \( 0=A x=B^{t} B x \Leftrightarrow 0=x^{t} 0=x^{t} B^{t} B x=\left(B x^{t} B x=\|B x\|^{2} \Rightarrow B x=0\right. \). Nin gilt \( k=\operatorname{rang}(B)+\operatorname{dim}(k e m(B)) \) \( =K+\operatorname{dim}(\operatorname{Kem}(B) \Rightarrow \operatorname{dim}(K e m(B))=0 \Rightarrow \operatorname{Kem}(B)=\{0) \operatorname{Dax} x \in \operatorname{Kem}(B) \) ist, folgt \( x=0 \operatorname{Damit} \) ist Kerr \( (A)=\{0) .=k \) Daraus folgt \( k=\underbrace{\operatorname{dim}(K e r n}_{=0}(A))+\operatorname{rang}(A)=\operatorname{ran} k(A) \& \) somit ist \( A \) inverrierbar, wodurch der(A) \( \neq 0 \) fagt.
Sei umgetehnt det(A) \( \neq 0 \) Dann ist \( A \) inverbierbar \& es gilt rang \( (A)=k \& \) damit Kem \( (A)=\{0) \) Sei \( x \in K e m(B) \subset \mathbb{R}^{k} \), dann ist \( B x=0 \Leftrightarrow A x=B^{t} B x=B^{t} \cdot 0=0 \stackrel{\Leftrightarrow}{\Rightarrow} x=0 \Rightarrow \operatorname{Kem}(B)=\{0\} \Rightarrow \) rang \( (B)=k \Rightarrow \) Behouplung.

Answer 1

Von der Idee her in Ordnung, man kann das aber ordentlich abkürzen und braucht auch keine zwei Richtungen, wenn man bereits mit Äquivalenzen arbeitet.

- Die Spalten von \(B\) sind genau dann linear unabhängig, wenn \(\operatorname{rang}(B)=k\).

- \(A=B^TB\in\mathbb{R}^{k\times k}\) ist symmetrisch und positiv semidefinit und hat wegen der linearen Unabhängigkeit der Spalten von \(B\) ebenfalls vollen Rang \(k\). Allgemein gilt \( \operatorname{rang}(A)= \operatorname{rang}(A^TA)\).

- Hat eine quadratische Matrix vollen Rang, so ist die Matrix invertierbar und hat eine Determinante ungleich 0. Auch das sind alles Äquivalenzen.

Insgesamt gelten also folgende Äquivalenzen:

\(a_1,\ldots a_n \text{ lin unab.} \Leftrightarrow \operatorname{rang}(B)= \operatorname{rang}(B^TB)= \operatorname{rang}(A)=k \Leftrightarrow \det(A)\neq 0\)

Comments

Ich danke Dir!