Von der Idee her in Ordnung, man kann das aber ordentlich abkürzen und braucht auch keine zwei Richtungen, wenn man bereits mit Äquivalenzen arbeitet.
- Die Spalten von \(B\) sind genau dann linear unabhängig, wenn \(\operatorname{rang}(B)=k\).
- \(A=B^TB\in\mathbb{R}^{k\times k}\) ist symmetrisch und positiv semidefinit und hat wegen der linearen Unabhängigkeit der Spalten von \(B\) ebenfalls vollen Rang \(k\). Allgemein gilt \( \operatorname{rang}(A)= \operatorname{rang}(A^TA)\).
- Hat eine quadratische Matrix vollen Rang, so ist die Matrix invertierbar und hat eine Determinante ungleich 0. Auch das sind alles Äquivalenzen.
Insgesamt gelten also folgende Äquivalenzen:
\(a_1,\ldots a_n \text{ lin unab.} \Leftrightarrow \operatorname{rang}(B)= \operatorname{rang}(B^TB)= \operatorname{rang}(A)=k \Leftrightarrow \det(A)\neq 0\)