Wie beweist man so etwas Allgemeines?

Question

Wie beweist man, das etwas ein Vektorraum ist, wenn gar nichts definiert wurde?

Die Aufgabe lautet zum Beispiel: Zeigen Sie, dass V = 2x2 Matrizen im Primzahlkörper 3 ein Vektorraum über K =  Primzahlkörper 3 sind.

Ich wollte nun starten und beweisen, dass die Vektorraumaxiome gelten. Also (V, +) ist eine Abelsche Gruppe und mit der skalaren Multiplikation gibt es dann noch ein paar weitere Eigenschaften (Neutrales Element etc.).

Aber wie soll man das hier überhaupt nachweisen, es ist ja z.B. keine Addition definiert. Dann dachte ich mir, benutze ich wohl einfach die Matrixaddition. Ich habe dann so angefangen:

Sei v aus V und w aus V, dann gilt: v = \( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) mit a, b, c, d größer-gleich 0 und kleiner-gleich 3 und w = \( \begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix} \) mit e, f, g, h größer gleich 0 und kleiner-gleich 3.

Aber wie soll ich nun z.B. die Kommutativität der Vektoraddition beweisen? Ich kann die Elemente jetzt natürlich in jeder beliebigen Reihenfolge hinschreiben, aber das beweist doch noch nicht, dass es wirklich so ist?

Ich könnte ja sonst auch schreiben: Die Division ist kommutativ. Nehme a aus ℝ und b aus ℝ dann gilt a:b = b:a.

Ist natürlich Unsinn, denn die Division ist nicht kommutativ, aber durch die Allgemeinheit und der Wahl beliebiger Variablen kann man ja nicht nachprüfen ob das nun stimmt oder nicht. Außer wenn ich konkrete Werte einsetze. Das wäre dann für ein Gegenbeispiel gut, aber bei den Matrizen kann ich ja nicht jeden beliebigen Wert einmal einsetzen, da muss es doch eine bessere Lösung geben? Vielen Dank im Voraus.

Comments

Die Matrixaddition ist Assoziativ, Kommutativ, es ex Neutrales Element, es ex Inverse Elemente, da Komponentenweise mit einer Verknüpfung gerechnet wird (Addition eines Körper) die all diese Eigenschaften auch schon besitzt.

Deshalb ist da an sich gar nicht zu zeigen. Eine reine Fleißarbeit zum aufschreiben, wenn eine ausführliche Lösung verlangt wird.

Answer 1

es ist ja z.B. keine Addition definiert.

Dann wird die übliche Addition verwendet.

Bei Matrizen erfolgt die übliche Addition komponentenweise, also

        \(\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}\\a_{2,1}&a_{2,2}\end{pmatrix}+_V\begin{pmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_{1,1}+_Kb_{1,1}&a_{1,2}+_Kb_{1,2}\\a_{2,1}+_Kb_{2,1}&a_{2,2}+_Kb_{2,2}\end{pmatrix}\)

wobei \(+_K\) die Addition in \(K\) und \(+_V\) die Addition in \(V\) ist.

Aber wie soll ich nun z.B. die Kommutativität der Vektoraddition beweisen?

Die Addition \(+_K\) ist kommutativ, weil \(K\) ein Körper ist. Also ist

        \(\begin{pmatrix}a_{1,1}+_Kb_{1,1}&a_{1,2}+_Kb_{1,2}\\a_{2,1}+_Kb_{2,1}&a_{2,2}+_Kb_{2,2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}b_{1,1}+_Ka_{1,1}&b_{1,2}+_Ka_{1,2}\\b_{2,1}+_Ka_{2,1}&b_{2,2}+_Ka_{2,2}\end{pmatrix}\)

und somit ist \(+_V\) kommutativ.