Wie beweist man, dass etwas eine Linearform ist?

Question

Zeigen Sie, dass die Abb. K^n nach K definiert durch (x1..xn) nach xi eine Linearform ei^v ist. Danke für Tipps und Hilfen!

Answer 1

Mit e_i^v muss  das Skalarprodukt der Vektoren e_i und v gemeint sein.

Gemäss Definition in Wikipedia https://de.wikipedia.org/wiki/Linearform

musst du die Additiviität und die Homogenität beweisen.

Additivität

Seien x= (x1..xn) und y = (y1…yn)

So ist zu zeigen , dass e_i^x + e_i^y = e_i^{x+y}

Beweis:

Linke Seite: e_i^x + e_i^y = x_i + y_i

Rechte Seite: e_i^{x+y} = e_i^{x1 + y1,…,xn + yn} = x_i + y_i                    = linke Seite wzbw

Homogenität

Seien x= (x1..xn) und a Element IR

So ist zu zeigen , dass a*e_i^x = e_i^{ax}

Beweis

Linke Seite: a*e_i^x = a x_i

Rechte Seite: e_i^{ax} = e_i^{a*x1,…,a*xn} =a x_i                 = linke Seite wzbw

In diesem Beweis werden Vektoraddition und Mult von Vektoren mit reellen Zahlen sowie Rechengesetze für reelle Zahlen benutzt. Ich nehme an, dass die bekannt sind und ihr im Skript dieselbe Definition für Linearform habt.

Comments

Ich glaube ei^v ist eine andere Bezeichnung für ei^* wie bei einem Dualraum (K^n)^* = (K^n)^v

---

Danke. Schön, wenn du das kennst. Ich hoffe, dass Anonym mit deinem Hinweis was anfangen kann.

---

mir fällt gerade auf, dass wir gar keine definition im skript haben :o