Skalarprodukt, n-Linearform

Question

Aufgabe:

Es sei V ein n-dimensionaler ℝ-Vektorraum mit Skalarprodukt ⟨ . , .⟩ und b₁,...,b_n eine Orthonormalbasis von V.

Dann ist φ(x₁,...,x_n):=det(⟨ v_i , b_j⟩)_ij  eine nicht-ausgeartete alternierende n-Linearform.

Problem/Ansatz:

Die Eigenschaft für n-Linearität und nicht-ausgeartet konnte ich bereits zeigen, habe aber keinen nutzvollen Ansatz, um zu zeigen, dass diese alternierend ist.

Bisher hatte ich dazu:

Seien x₁,...,x_n ∈ V linear abhängig, d.h, 0=α₁*x₁+...+α_n*x_n , O.B.d.A α₁≠0. Dann ist

0=φ(0,x₂,...,x_n)=det(⟨ 0 , b_j⟩)_1j = det(⟨ α₁*x₁+...+α_n*x_n , b_j⟩)_1j = det(α₁*⟨ x₁ , b_j⟩+...+α_k*⟨ x_k , b_j⟩)_1j  

Aber weiter komme ich nicht. Ist das überhaupt hier die passende Herangehensweise???