Wie untersucht man gegenseitige Lagen der Geraden?

Question

Aufgabe:

Danke im Voraus!

Text erkannt:

4. Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Geraden \( g \) und \( h \).
a) \( \mathrm{g}: \vec{x}=\left(\begin{array}{r}4 \\ 2 \\ 1 . \text { Schritt: }\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{r}-2 \\ 3 \\ 2\end{array}\right) \) und \( h: \vec{x}=\left(\begin{array}{r}6 \\ -1 \\ 0\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{c}0,5 \\ -0,75 \\ -0,5\end{array}\right) \)
b) \( g: \vec{x}=\left(\begin{array}{r}0 \\ -2 \\ \text { 1. Schritt: }\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{r}-2 \\ 1 \\ -1\end{array}\right) \) und \( h: \vec{x}=\left(\begin{array}{r}-2 \\ 5 \\ 1\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 0\end{array}\right) \) 1. Schritt:
\( \left(\begin{array}{c|c|c}-2 \\ 3 \\ 2\end{array}\right)=\mathrm{t} \cdot\left(\begin{array}{l}\text { ist } \\ \text { sind die beiden Richtungsvek- } \\ \text { toren }\end{array}\right. \) 1. Schritt:
\( \left(\begin{array}{c}-2 \\ 3 \\ 5\end{array}\right)=t \cdot\left(\begin{array}{c}\frac{2}{2} \\ 0\end{array}\right) \)
ist
, damit sind
die beiden Richtungsvektoren
2. Schritt: Eine Nebenrechnung zeigt, dass die Vektor-
2. Schritt: Eine Nebenrechnung zeigt, dass die Vektor-
gleichung \( \left(\begin{array}{r}4 \\ 2 \\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}6 \\ -1 \\ 0\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{c}0,5 \\ -0,75 \\ -0,5\end{array}\right) \) nicht lösbar ist,
gleichung \( \left(\begin{array}{r}0 \\ -2 \\ 3\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{r}-2 \\ 1 \\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}-2 \\ 5 \\ 1\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 0\end{array}\right) \) nicht lösbar damit sind die beiden Geraden \( \mathrm{g} \) und \( \mathrm{h} \)
ist, damit sind die beiden Geraden g und \( h \)

Answer 1

Die gegenseitige Lage von Geraden:

Wenn die Richtungsvektoren parallel zueinander sind und der Ortsvektor der einen auch auf die andere zeigt, sind die Geraden identisch.

Wenn die Richtungsvektoren parallel zueinander sind und der Ortsvektor der einen nicht auf die andere zeigt, sind die Geraden parallel.

Wenn die Komponentengleichungen, die beim Gleichsetzen entstehen, eine eindeutige Lösung haben und die Geraden nicht  identisch sind, haben die Geraden einen Schnittpunkt,

Wenn die Komponentengleichungen, die beim Gleichsetzen entstehen, keine eindeutige Lösung haben und die Geraden nicht parallel sind, sind die Geraden windschief zueinander.