Bestimmen Sie (falls möglich) jeweils den Grenzwert der Folge.

Question

Hi :)

Aufgabe:Gegeben sei die Folge . Bestimmen Sie (falls möglich) jeweils den Grenzwert der Folge.$$\lim\limits_{n \to \infty}\left(\frac{n^2-1}{2n+n\sqrt{n}}-\sqrt{n}\right) = \,?$$

Soweit bin ich gekommen : (-1-2n*√n )/(2n+n*√n)

wie geht es jetzt weiter ?

Vielen Dank im Voraus

Answer 1

\( \frac{n^2-1}{2n+n\sqrt{n}} -\sqrt{n}= \frac{n^2-1-2n\sqrt{n}-n^2}{2n+n\sqrt{n}} = \frac{-1-2n\sqrt{n}}{2n+n\sqrt{n}} \).

Das hast du schon einmal richtig. Jetzt teile Zähler und Nenner durch die höchste vorkommende Potenz von n, und das ist \(n^{1,5}\) bzw \(n\sqrt{n}\).

Die anschließende Grenzwertbildung liefert \( \frac{0-2}{0+1} \).

Answer 2

Multipliziere mit einer "konjugiert nahrhaften Eins", um im Zähler die dritte binomische Formel \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) zu provozieren:$$\left(\frac{n^2-1}{2n+n\sqrt{n}}-\sqrt{n}\right)\underbrace{\frac{\frac{n^2-1}{2n+n\sqrt{n}}+\sqrt{n}}{\frac{n^2-1}{2n+n\sqrt{n}}+\sqrt{n}}}_{=1}=\frac{1-2n^{3/2}}{n^{3/2}+2n}$$ Mit Eins zu multiplizieren, ändert den Ausdruck natürlich nicht. Dann klammere \(n^{3/2}\) aus:$$\frac{1-2n^{3/2}}{n^{3/2}+2n}=\frac{n^{3/2}\left(\frac{1}{n^{3/2}}-2\right)}{n^{3/2}(1+\frac{1}{\sqrt{n}})}=\frac{\frac{1}{n^{3/2}}-2}{1+\frac{1}{\sqrt{n}}}$$ Was passiert nun, wenn \(n\to \infty\)?