Punkte, Gerade und Geradenschar

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Punkte A(11 | 14 | 12), B (20 | 20 | 0), C(12 | 12 | 16), die Gerade h: \vec{x}=\( \begin{pmatrix} 13\\20\\0 \end{pmatrix} \) +r·\( \begin{pmatrix} -6\\-3\\6 \end{pmatrix} \)   sowie die Schar

g_a: \( \vec{x} \) = \( \begin{pmatrix} 20\\40\\0 \end{pmatrix} \) +r·\( \begin{pmatrix} a-12\\2a-20\\4a-2 \end{pmatrix} \)

1. Überprüfe, ob es einen Wert für a gibt, für den Punkt A auf der Schar liegt.

2. Bestimme einen Wert für a für den g_a und h sich schneiden. Wie lautet der Schnittpunkt?

3. Beurteile, ob es einen Wert für a gibt, so dass g_a parallel zur Strecke BC läuft.

Problem/Ansatz:

1. Für a = 3 liegt A auf der Geraden.

2. Für a = 1 schneiden sich die Geraden im Punkt SP (7 / 17 / 6).

3. Strecke BC habe ich als Gerade b: \( \vec{x} \) = \( \begin{pmatrix} 20\\20\\0 \end{pmatrix} \) +s·\( \begin{pmatrix} -8\\-8\\16 \end{pmatrix} \)  dabei muss s größer gleich null sein und kleiner gleich eins. Nun habe ich sie Richtungsvektoren von b und g_a auf Parallelität überprüft. Dabei entsteht das Gleichungssystem:

-8s = a -12

-8s = 2a - 20

16 s = 4a -2

Es gibt keine Lösung für das LGS. Also verläuft g_a nicht parallel zu BC

Stimmt das? Besonders bei 3 bin ich mir nicht sicher

Vielen Dank!

Comments

ob es ein Wert für A gibt, für den Punkt A...

sollte es nicht eher heißen:

ob es einen Wert für a gibt, für den Punkt A... ?

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Ja, soll es. Da habe ich mich glaube ich vertippt.

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Du glaubst es. Aber hast nichts korrigiert. Ich habe den Aufgabentext daher etwas entschlumpft. Unnötige Verwirrungen sind unnötig.

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Vielen Dank!

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ob es ein Wert für a gibt, für den Punkt A... ?

Wenn schon korrigiert wird, müsste es „einen“ statt „ein“ heißen.

:-)

Answer 1

1. Überprüfe, ob es ein Wert für a gibt, für den Punkt A auf der Schar liegt.

[20, 40, 2] + r·[a - 12, - 2·a - 20, 4·a - 2] = [11, 14, 12] --> a = 3 ∧ r = 1

Für a = 3 liegt A auf der Schar.

2. Bestimme einen Wert für a für den ga und h sich schneiden. Wie lautet der Schnittpunkt?

[20, 40, 2] + r·[a - 12, - 2·a - 20, 4·a - 2] = [13, 20, 0] + s·[-6, -3, 6] --> a = 1 ∧ r = 1 ∧ s = 2/3

S = [13, 20, 0] + 2/3·[-6, -3, 6] = [9, 18, 4]

Den Schnittpunkt solltest du nochmals nachrechnen.

3. Beurteile, ob es einen Wert für A gibt, so dass ga parallel zur Strecke BC läuft.

r·[a - 12, - 2·a - 20, 4·a - 2] = [12, 12, 16] - [20, 20, 0] → Keine Lösung

Comments

Vielen Dank, mein Fehler bei 2. war, dass ich r=1 in h eingesetzt habe und nicht s=2/3