keinen Schnittpunkt haben und auch nicht parallel sind?

Question

Woran kann man ohne ausfunrliche Rechnung erkennen, dass die Geraden
\( g: \bar{x}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right)+r\left(\begin{array}{l} 0 \\ 4 \\ 7 \end{array}\right) \text { und } h: \bar{x}=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)+s\left(\begin{array}{r} 0 \\ -3 \\ 4 \end{array}\right) \)
keinen Schnittpunkt haben und auch nicht parallel sind?

Lösung:

Jeder Punkt von \( \mathrm{g} \) hat die \( \mathrm{K}-\mathrm{K} \) oordinate I; jeder Pumik von \( \mathrm{h} \) hat die x-Koordinate 2 . Also/haben \( \mathrm{g} \) und h keinen Schnitipunks.

Aber wie kommt man darauf? Muss man da nur den ,,x Abschnitt" betrachten, oder wie geht das genau?

Answer 1

Aloha :)

Der Richtungsvektor von \(g\) hat eine \(0\) in der \(x\)-Komponente, daher kannst du \(r\) wählen, wie du möchtest, die \(x\)-Koordinate aller Punkte von \(g\) ist immer gleich \(1\), weil der Ankerpunkt die \(x\)-Koordinate \(1\) hat.

Für den Richtungsvektor von \(h\) gilt dasselbe, auch hier ist die \(x\)-Koordinate \(0\) und du kannst \(s\) wählen, wie du möchtest, die \(x\)-Koordinate aller Punkte aus \(h\) ist immer gleich \(2\), wegen des Ankerpunktes.

Da es keinen Punkt gibt, dessen \(x\)-Koordinate zugleich \(1\) und \(2\) ist, haben die beiden Geraden keinen gemeinsamen Punkt.

Die beiden Gerade sind auch nicht parallel zueinander, weil die beiden Richtungsvektoren nicht parallel oder antiparallel sind.

Answer 2

Könntest du für r und s jeweils mal 3 Werte einsetzen und die entstehenden Ortsvektoren der Punkte notieren. Was fällt dir dann an den Werten auf. Der x Wert bei g und h sollten jeweils konstant bleiben aber bei g und h unterschiedlich sein. Kann es also einen Ortsvektor von g geben, der mit einem Ortsvektor von h in allen drei Komponenten übereinstimmt?