Wie zeige ich, dass f_n punktweise gegen f konvergiert?

Question

Aufgabe: Sei eine Indexmenge und ein topologischer Raum. Definiere X^A := ∏{α ∈A} X_α wo

X_α = X, fuer alle α ∈ A.


f_n, f ∈ X^A und f_n → f in der Produkt Topology ⇔ f_n,f:A → X und f_n → f punktweise.

…

Problem/Ansatz: Also ich moechte zuerst "=>" zeigen, finde aber keinen Ansatz dafuer. Ich verstehe nicht genau, was f_n-> f in der Produkt Topology heisst. Ich weiss nur, dass die Basis gegeben ist durch {∏α∈A U_α | U_α c X und U_α=X fuer fast alle bis auf endlich viele α}.

Answer 1

Das ist äquivalent dazu, zu zeigen, dass eine Folge \( \{ x_{ n} \}_{ n \in \mathbf{N} } \subset \prod_{\alpha \in A}^{} X_{ \alpha } =: X\)
genau dann zu \( x \) konvergiert, wenn \( \{\pi _{ X_{ \alpha } } ( x _{ n} )  \}_{ n \in \mathbf{N} } \)
zu \( \pi _{ X_{ \alpha } } ( x) \) konvergiert.

Die "\( \implies \)" Richtung ist klar, denn ist \( U _{ x _{ \alpha } } \) eine beliebige Umgebung von \( \pi _{ X_{ \alpha } } ( x) \), so
ist auch \( \pi _{ X _{ \alpha } }^{-1} ( U_{ x _{ \alpha } } )  \) eine Umgebung von \( x\) und somit
existiert ein \( N \) sodass für \( n \geqslant N\) gilt, dass \( x_{ n}  \in\pi _{ X _{ \alpha } }^{-1} ( U_{ x _{ \alpha } } )  \), also
\( \pi _{ X_{ \alpha } } ( x_{ n} ) \in U _{ x _{ \alpha } }  \).

Für die andere Richtung sei \( U _{ x} \subset X\) eine Umgebung von \( x\). Per Definition der Produkttopologie
gibt es nun endlich viele \( \alpha _{ 1} , \ldots , \alpha _{ \ell } \), sodass
\( U _{ x}  = \pi _{ X _{ \alpha _{ 1} } } ^{-1} ( U _{ \alpha _{ 1} } )\times \cdots \times \pi _{ X _{ \alpha _{ \ell } } } ^{-1} ( U _{ \alpha _{ \ell } } ) \)
für \( U _{ \alpha _{ k} } \subset X_{ \alpha _{ k} } \). Für jedes \( k\) finden wir nun ein \( N _{ k} \)
sodass für \( j \geqslant N _{ k} \) gilt, dass
\( \pi _{ X _{ \alpha _{ k} } } ( x_{ j} ) \in U _{ \alpha _{ k} } \). Dann nehmen wir
\( N = \max_{ 1\leqslant k\leqslant \ell } N_{ k} \) und für \( j\geqslant N\) gilt dann, dass
\( x _{ j}  \in U_{ x} \) wie gewünscht.