Wie zeigt man dass f_n(x)=x- (x^n)/n glm gegen x konvergiert, die Ableitungen jedoch nicht?

Question

ich arbeite gerade an der Aufgabe:

Zeige f_n(x)= x- (x^n)/n konvergiert auf [0,1] gleichmäßig gegen f(x)=x, aber die Ableitungen von f_n nicht gegen die Ableitungen von f(x).

Hat Jemand zufällig eine Idee, wie man an eine solche Aufgabe heangeht. Stehe da leider etwas auf dem Schlauch. :-/

Answer 1

Für die 1. Aussage ist zu zeigen:

zu jedem eps>o gibt es ein N so dass für alle n>N gilt |f_n(x) - f(x) | < eps

hier also   | x - x^n / n - x | < eps   also   | x^n / n | < eps  wegen x aus [0/1] also

ohne Betrag   x^n / n  < eps

                        x^n < n*eps

                       x^n / eps  < n 

Da für x aus [0;1] der Wert von x^n kleiner oder gleich 1 ist, reicht 1/eps < n und

das ist  mit N = die auf 1/eps folgende nächste nat. Zahl             erfüllt.

Also gleichmäßige Konv.

Bei den Ableitungen hat man f_n'(x) =  1 - x ^n-1   und bei x=1 konvergiert das

für n gegen unendlich gegen 0  im Gegensatz zu f ' (x) = 1

also konvergieren die Ableitungen von fn nicht gegen die Abl. von f.