Länge des Funktionsgraphen berechnen

Question

Hallo, ich möchte hier gerne die Länge des Funktionsgraphen bestimmen. Ich komme aber an dieser Stelle nicht weiter. Kann mir jemand bei dieser Übungsaufgaben helfen?

\( \begin{aligned} f(x) & =\frac{1}{4} x^{2}-\ln (\sqrt{x}) \quad x=4 \quad x=9 \\ f^{\prime}(x) & =\frac{1}{2} x-\frac{1}{2} x \\ L & =\int \limits_{a}^{b} \sqrt{1+\left(f^{\prime}(x)\right)^{2}} d x \\ & =\int \limits_{4}^{9} \sqrt{1+\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{2 x}\right)^{2}}\end{aligned} \)

Answer 1

Hallo,

$$f(x) =\frac{1}{4} x^{2}-\ln (\sqrt{x}) \quad 4 \le x \le 9$$

Die Rechnung: $$\begin{aligned} f'\left(x\right)&=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2x} \\ L & =\int \limits_{a}^{b} \sqrt{1+\left(f^{\prime}(x)\right)^{2}}\,\text{d}x \\ &= \int \limits_{4}^{9} \sqrt{1+\frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4x^2}}\,\text{d}x \\ &= \frac{1}{2}\int \limits_{4}^{9} \sqrt{2+x^2 + \frac{1}{x^2}}\,\text{d}x \\ &= \frac{1}{2}\int \limits_{4}^{9} \frac{1}{x}\sqrt{x^4 +2x^2+ 1}\,\text{d}x &&|\, x \ge 0\\ &= \frac{1}{2}\int \limits_{4}^{9} \frac{x^2+1}{x}\,\text{d}x \\ &= \frac{1}{2}\int \limits_{4}^{9} x + \frac{1}{x}\,\text{d}x \\ &= \frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}x^2 + \ln(x)\right]_{4}^{9} \\ &= \frac{81-16}{4} +\frac{1}{2}\ln\left(\frac{9}{4}\right) \approx 16,66 \end{aligned} $$und die Bestätigung von Desmos für den nummerischen Wert:

https://www.desmos.com/calculator/sxzjtnxdnp

Gruß Werner

Comments

Vielen Dank für die sehr ausführliche Lösung. Ich kann soweit alles nachvollziehen, nur den Schritt Zeile 4 nach 5. Also die Auflösung der Wurzel. können sie mir den noch was näher erläutern?

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@MBstudent: "Binomische Formel" sagt dir was?

@Werner: Die Ergänzung |x≥0

ist im konkreten Fall überflüssig.

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... nur den Schritt Zeile 4 nach 5. Also die Auflösung der Wurzel. können sie mir den noch was näher erläutern?

$$\begin{aligned} \dots &\phantom{=}\frac{1}{2}\int \limits_{4}^{9} \sqrt{2+x^2 + \frac{1}{x^2}}\,\text{d}x \\ &= \frac{1}{2}\int \limits_{4}^{9} \sqrt{\frac{2x^2}{x^2} +\frac{x^4}{x^2}+ \frac{1}{x^2}}\,\text{d}x\\ &= \frac{1}{2}\int \limits_{4}^{9} \sqrt{\frac{2x^2+x^4 + 1}{x^2}}\,\text{d}x\\ &= \frac{1}{2}\int \limits_{4}^{9} \frac{1}{x}\sqrt{x^4 +2x^2+ 1}\,\text{d}x &&|\, x \ge 0\\ &= \frac{1}{2}\int \limits_{4}^{9} \frac{1}{x}\sqrt{\left(x^2+1\right)^{2}}\,\text{d}x \\ &= \frac{1}{2}\int \limits_{4}^{9} \frac{x^2+1}{x}\,\text{d}x \\ &\dots\end{aligned}$$

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Daumenhoch, irgendwann will ich dieses Desmodingsbums auch lernen :)

Answer 2

Länge:

\(\displaystyle \int \limits_{4}^{9} \frac{1}{2} \sqrt{2+\frac{1}{x^{2}}+x^{2}} \; d x \approx 16,7\)

Comments

Danke für die Antwort. Das hilft mir schonmal weiter. Wie löse ich die Wurzel dann auf?

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Wenn Du sie denn unbedingt auflösen willst, und da x positiv ist:

\(\displaystyle \sqrt{2+\frac{1}{x^{2}}+x^{2}}=x+\frac{1}{x} \)

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Komme leider nicht ganz mit. Wie sind sie darauf gekommen?

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Quadriere die Gleichung auf beiden Seiten, und Du wirst merken, dass auf beiden Seiten dasselbe steht.

Wie ich darauf gekommen bin? Wahrscheinlich hatte ich

(a + b)² = a² + 2ab + b²

im Hinterkopf.

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es ist leichter zu sehen, wenn man die Reihenfolge der Summanden umstellt:$$ \sqrt{\underbrace{x^{2}}_{a^2}+\underbrace{2}_{2ab}+\underbrace{\frac{1}{x^{2}}}_{b^2}}=x+\frac{1}{x}$$Wenn bei drei Summanden ganz links und ganz rechts ein Quadrat steht, so ist das immer verdächtig.

Answer 3

Löse die Klammer auf und fasse unter der Wurzel zusammen.

Die Wurzel lässt sich beseitigen.

https://www.integralrechner.de/

PS:

Du hast einen Fehler in der 2. Zeile, der in der 4. wieder verschwunden ist.