Aloha :)
Wir suchen die Kurvenlänge der Funktion$$y(x)=ax^{3/2}\quad;\quad x\ge0$$
Dazu überlegen wir uns zuerst ganz allgemein eine Formel für die Kurvenlänge.
Bei einer Änderung von \(\Delta x\) in x-Richtung ändert sich der Funktionswert um \(\Delta y\) in y-Richtung. Nach Pythagoras gilt dann für die Hypotenuse \(\Delta\ell\) des entstehenden rechtwinkligen Dreiecks:$$(\Delta\ell)^2=(\Delta x)^2+(\Delta y)^2\quad\implies\quad\Delta\ell=\sqrt{1+\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)^2}\,\Delta x$$
Machen wir die Änderung \(\Delta x\to0\) nun infinitesimal klein, schmiegt sich die Hypotenuse \(\Delta\ell\) an die Kurve an, beschreibt also die Länge des Kurvenstücks, und aus dem Differenzenquotienten \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\) wird die Ableitung \(y'(x)\). Das heißt:$$d\ell=\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx=\sqrt{1+[y'(x)]^2}\,dx$$
Die Formel für die Kurvenlänge von \(y(x)\) auf dem Intervall \(x\in[\text{hier};\text{dort}]\) ist daher:$$\ell=\int\limits_{x=\text{hier}}^{\text{dort}}\sqrt{1+[y'(x)]^2}\,dx$$
In der Aufgabenstellung hat dein Leerer Mist gebaut, weil die Bezeichung für die obere Grenze des Integrals mit der Integrationsvariablen kollidiert. Daher betrachten wir das Intervall \(x\in[0;b]\) und ersetzen im Ergebnis die obere Grenze \(b\) wieder durch ein \(x\):
$$\ell=\int\limits_0^b\sqrt{1+[y'(x)]^2}dx=\int\limits_0^b\sqrt{1+\left(\frac32ax^{1/2}\right)^2}dx=\int\limits_0^b\left(1+\frac94a^2\,x\right)^{\frac12}dx$$Beim Integrieren haben wir Glück, weil die innere Ableitung der Wurzelfunktion \((\frac94a^2)\) konstant ist:$$\phantom\ell=\left[\frac{\left(1+\frac94a^2\,x\right)^{\frac32}}{\frac32\cdot\frac94a^2}\right]_{x=0}^b=\left[\frac{8}{27a^2}\left(1+\frac94a^2\,x\right)^{\frac32}\right]_{x=0}^b$$$$\phantom\ell=\frac{4^{\frac32}}{27a^2}\left(1+\frac94a^2b\right)^{\frac32}-\frac{8}{27a^2}=\frac{\left(4+9a^2b\right)^{\frac32}-8}{27a^2}$$
Schließlich ersetzen wir noch \(b\) durch \(x\) und erhalten:$$\ell(x)=\frac{\left(4+9a^2x\right)^{\frac32}-8}{27a^2}\quad;\quad x\ge0$$
