Berechnen Sie den Inhalt der farbigen Fläche mit Hilfe von Stammfunktionen

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie den Inhalt der markierten Fläche mithilfe von Stammfunktionen

Problem/Ansatz:

Ich bekomme die Stammfunktionen aufgestellt, allerdings, bekomme ich den Flächeninhalt ( Lösung soll wohl 0,168 sein) nicht raus. Wo könnte der Fehler in meiner Berechnung liegen?

Text erkannt:

\( \begin{array}{l}\left(\text { Sb) } f(x)=0,25^{x}\right. \\ f(x)=\frac{1}{\ln (0,25)} \cdot 0,25^{x}=\frac{0,25^{x}}{\ln (0,25)} \\ g(x)=-1,5 x+1,25 \\ G(x)=\frac{-0,75 x^{2}+1,25 x}{-0.0,5(x) \cdot d x} \\ A \int \limits_{-0,5}^{0,5} g(x) \cdot d x-\int \limits_{-0,5}^{0,5}\left(-1,5 x+1,25-\frac{0,25 x}{f}\right) \cdot d x=[ \\ =\left[-0,75 x^{2}+1,25 x-\frac{0,25 x}{\ln (0,25)}\right]_{-0,5}^{0,5}\end{array} \)

Comments

Du könntest das ein bisschen lesefreundlicher schreiben. Das ganz unten habe ich nicht mehr korrigiert.

Answer 1

Aloha :)

Bilde zunächst die Differenz-Funktion der beiden gegebenen Funktionen$${\color{blue}f(x)=0,25^x=\left(\frac14\right)^x}\quad;\quad\red{g(x)=-1,5x+1,25=-\frac32x+\frac54}$$Das liefert:$$d(x)=\red{-\frac32x+\frac54}-\color{blue}\left(\frac14\right)^x$$Nun brauchen wir die Schnittpunkte der beiden Funktionen \(f(x)\) und \(g(x)\) bzw. die Nullstellen der Funktion \(d(x)\). Da wir zu faul zum Rechnen sind, lesen wir diese aus dem Diagramm ab: \(x_1=-\frac12\) und \(x_2=\frac12\). Sicherheitshalber setzen wir beide Werte in die Funktion \(d(x)\) ein und stellen fest, dass dies tatsächlich die Nullstellen sind.

Die gesuchte Fläche ist nun:$$F=\int\limits_{x_1}^{x_2}\left|d(x)\right|\,dx=\int\limits_{-1/2}^{+1/2}\left(-\frac32x+\frac54-\left(\frac14\right)^x\right)dx=\left[-\frac34x^2+\frac54x-\frac{\left(\frac14\right)^x}{\ln\left(\frac14\right)}\right]_{-1/2}^{1/2}$$Bis hierhin habe ich das gleiche Ergebnis wie du raus. Nun setzen wir die Grenzen ein:$$F=\left[-\frac34x^2+\frac54x+\frac{1}{4^x\ln(4)}\right]_{-1/2}^{1/2}=\left(\frac58+\frac{1}{2\ln(4)}\right)-\left(-\frac58+\frac{1}{\frac12\ln(4)}\right)$$$$\phantom F=\frac{10}{8}+\frac{\frac12-2}{\ln(4)}=\frac{10}{8}-\frac{3}{2\cdot\ln(4)}=\frac{10}{8}-\frac{3}{\ln(16)}\approx0,1680$$

Answer 2

Außer einer umständlichen Rechnung und einer rabiaten Rundung kann ich keinen Fehler erkennen.

Answer 3

Ich halte das, was aufgeschrieben ist, für richtig.

Und dann Stammfunktion(1/2) - Stammfunktion(-1/2) ≈ 0,798 - 0,63 = 0,168