Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge... \o/
Um die Extremstellen der Funktion$$f(x)=\frac13x^4-\frac53x^2+\frac43$$zu bestimmen, ermittelst du zunächst die Nullstellen der ersten Ableitung:$$f'(x)=\frac43x^3-\frac{10}{3}x=\frac43x\left(\underbrace{x^2}_{a^2}-\underbrace{\frac52}_{b^2}\right)=\frac43x\left(\underbrace{x}_a-\underbrace{\sqrt{\frac52}}_b\right)\left(\underbrace{x}_a+\underbrace{\sqrt{\frac52}}_b\right)$$Ein Produkt ist Null, wenn einer seiner Faktoren Null ist. Das liefert die Nullstellen:$$x_1=0\quad;\quad x_2=\sqrt{\frac52}\quad;\quad x_3=-\sqrt{\frac52}$$
Diese Nullstellen der ersten Ableitung sind mögliche Kandidaten für ein Extremum. Wir müssen diese Kandidaten noch testen. Dafür bilden wir die zweite Ableitung:$$f''(x)=4x^2-\frac{10}{3}$$und prüfen die Vorzeichen der 3 Kandidaten:$$f''(0)=-\frac{10}{3}<0\implies\text{Maximum bei }x_1=0$$$$f''\left(\pm\sqrt{\frac52}\right)=4\cdot\frac52-\frac{10}{3}=10-\frac{10}{3}=\frac{20}{3}>0\implies\text{Minima bei }x_{2;3}=\pm\sqrt{\frac52}$$
~plot~ 1/3*x^4-5/3*x^2+4/3 ; [[-3|3|-1|4]] ~plot~
