Parametrisierte Funktionen und pq-Formel

Question

Aufgabe: Gleichung mithilfe der pq-Formel auflösen

3x² - 4ax + a² = 0

Ich bin bis zu diesem Punkt gekommen und wusste nicht mehr, was machen soll.

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Paramitisierte Funktionen und pq-Formel

Das ist weder eine "paramitisierte" Funktion noch eine parametrisierte Funktion noch eine Funktion, sondern eine quadratische Gleichung.

Man kann sie mit der Mitternachtsformel lösen oder, da pq-Formel verlangt wird, sie durch 3 dividieren und dann mit der pq-Formel lösen.

Answer 1

Hallo Samira,

Ich bin bis zu diesen Punkt gekommen ...

Du bist (fast) fertig! Du kannst die Sache vielleicht noch etwas umformen, um es gefälliger zu machen$$\begin{aligned} x_{1,2}&= \frac{2a}{3} \pm \sqrt{\frac{4a^2}{9} - \frac{a^2}{3}} \\ &= \frac{2a}{3} \pm \sqrt{\frac{4a^2}{9} - \frac{3a^2}{9}}\\ &= \frac{2a}{3} \pm \sqrt{\frac{4a^2- 3a^2}{9}} \\ &= \frac{2a}{3} \pm \sqrt{\frac{a^2}{9}}\\ &= \frac{2a}{3} \pm \frac{a}{3} \\ x_1 &= a\quad x_2 = \frac{1}{3}a\end{aligned}$$

Verschiebe den Punkt \(a= \dots\) und Du wirst sehen, dass die Nullstellen von \(f\) immer bei \(a\) und \(a/3\) liegen.

Gruß Werner

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vielen Dank, es hat mir sehr geholfen!

Answer 2

Ein erster Schritt wäre: $$ x_{1,2}=\frac{2 a}{3} \pm \sqrt{\frac{4 a^{2}}{9}-\frac{a^{2}}{3}} =\frac{2 a}{3} \pm \sqrt{\frac{4 a^{2}}{9}-\frac{3a^{2}}{9}}=\dots$$

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Mich würde mal interessieren, wofür es hier einen "Daumen" gegeben hat. Die "Antwort " wiederholt nur, was Fragesteller schon geschrieben hat??

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vielleicht Trostpreis

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Danke, das erklärt's

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Mich würde mal interessieren, wofür es hier einen "Daumen" gegeben hat.

Ich vermute, dass es den Daumen dafür gegeben hat, dass dort eben genau NICHT die komplette und ausführliche Umwandlung steht.

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Die "Antwort " wiederholt nur, was Fragesteller schon geschrieben hat??

Die Antwort greift die Stelle auf, an der der Frager nicht mehr weitergekommen ist, und geht noch einen kleinen Schritt weiter. Sie macht also genau das, was sie soll.

Answer 3

Ein etwas anderer Weg:

Multiplikation mit 3 liefert

\((3x)^2-4a(3x)+3a^2=0\). Quadratische Ergänzung führt zu

\((3x-2a)^2-a^2=0\), also

\(3x=2a\pm a\iff\)

\(3x\in\{a,3a\}\iff x\in\{a/3,a\}\)

Answer 4

Damit die abc-Formel nicht ganz ausstirbt zum Vergleich, wenn döschwo sie schon erwähnt)

x1/2 = (4a±√(16a^2- 4*3*a^2))/(2*3)

= (4a±√(4a^2))/6 = (4a±2a)/6

= 2/3*a± 1/3*a

x1= a

x2 = 1/3*a

Der Untergang dieser Formel scheint dennoch besiegelt zu sein.

Zu meiner Zeit musste man sie noch pauken.

Ich habe gehört, dass es an einer Schule eine zeitlang sogar die Begrüßungsformel im Mathe war,

als das Thema dran war.

Dieser Senf musste sein,

zum Trost für das arme abc-Formel-Schwein.

Unknown mag mich auch dafür tadeln.

ich indes wollte nur diese Formel ein wenig adeln. :)

(Das Gelb hier ist zu grell für den Senf.)

Answer 5

Falls es keine Vorgaben gibt:

\(3x^2 - 4ax + a^2 = 0\)

\(x^2 - \frac{4}{3}ax = -\frac{a^2}{3}\)

\((x - \frac{2}{3}a)^2  = -\frac{a^2}{3}+(\frac{2}{3}a)^2=\frac{1}{9}a^2   |\sqrt{~~}\)

1.)

\(x - \frac{2}{3}a =\frac{1}{3}a \)

\(x_1=a\)

2.)

\(x - \frac{2}{3}a =-\frac{1}{3}a \)

\(x_2=\frac{1}{3}a\)