Vektoren, Ebene, Punkte...

Question

Gegeben sei die Ebene (x,y,z)=r⋅(1,0,0)+s⋅(0,1,0), r,s∈R

Was trifft zu?

Wählen Sie eine oder mehrere Antworten:

a) Der Punkt (−1,2,0) liegt auf der Ebene.

b) Der Punkt (0,0,1) liegt auf der Ebene.

c) Eine zugehörige Ebenengleichung ist z=0.

d) Der Nullvektor liegt in der Ebene.

e) Eine zugehörige Ebenengleichung ist x+y=0.

Ich würde gerne wissen, welche Aussage(n) korrekt ist/sind und warum.

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

a) und b) kannst Du beantworten, indem Du die Koordinaten des Punktes in die Parameterform der Ebene einsetzt und schaust, ob das Gleichungssystem lösbar ist.

Und so ein Nullvektor ist schrecklich kurz und hat in jeder Ebene Platz.

Comments

Vielen Dank für deine Antwort.

Dann ist a) korrekt, weil ich für r=-1 und für s=2 bekomme.

b) ist nicht korrekt, weil bei der dritten Zeile 1=0 rauskommt.

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Und so ein Nullvektor ist schrecklich kurz und hat in jeder Ebene Platz.

Der Nullvektor bzw. der Koordinatenursprung liegt nicht in jeder Ebene.

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Mein Mathelehrer hat mir mal beigebracht, ein Nullvektor müsse nicht im Ursprung liegen.

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Recht hat er! Die Aussage "Ein Vektor liegt in der Ebene" ist sowieso irreführend. Ein Vektor hat unendlich viele Repräsentaten (im Volksmund auch "Pfeile" genannt).

Von einem Vektor kann es Repräsentanten geben, die in einer bestimmten Ebene liegen. Wenn nicht, dann war es nicht die passende Richtung. Aber dieses Problem gibt es bei Nullvektoren nicht.

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Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Repräsentant des Nullvektors im Ursprung liegt, ist also gleich null. Er kann aber trotzdem dort liegen.

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So ist es. Der Nullvektor liegt in jeder Ebene, der Koordinatenursprung (Nullpunkt) dagegen nicht. Das "bzw." zwischen den Begriffen verstehe ich daher nicht.

Punkte und Vektoren sind versch. Objekte, die auseinanderzuhalten manchem schwer fällt. Da ist zusätzliche Verwirrung tunlichst zu vermeiden.

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Alles klar. Wenn ich aber sage der vektor \( \vec x \) liegt in der Ebene. Meine ich dann den Ortsvektor oder den Richtungsvektor. Eine Ebene besteht doch aus lauter Ortsvektoren.

Oder anders

Die Ebene

$$\vec x = \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}$$

Hier wird die Ebene doch gebildet aus den Ortsvektoren \( \vec x \), oder nicht?

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Eine Ebene besteht aus Punkten, nicht aus Vektoren.

Die Parameterdarstellung liefert die Ortsvektoren dieser Punkte.

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Ok. Ich glaube, ich habe es verstanden.

Also liegt der Vektor [1, 0, 0] in jeder Ebene, die zum Vektor [1, 0, 0] parallel liegt. Egal durch welche Punkte die Ebene auch genau verläuft.

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Genau so ist es.

Answer 2

Gegeben sei die Ebene (x,y,z) = r⋅(1,0,0)+s⋅(0,1,0), r,s∈R

Was trifft zu?

Wählen Sie eine oder mehrere Antworten:

a) Der Punkt (−1,2,0) liegt auf der Ebene.

richtig

b) Der Punkt (0,0,1) liegt auf der Ebene.

falsch

c) Eine zugehörige Ebenengleichung ist z=0.

richtig

d) Der Nullvektor liegt in der Ebene.

richtig

e) Eine zugehörige Ebenengleichung ist x+y=0.

falsch