Lagrange:
Minimiere \(f(x,y)=(x-4)^2+(y-3)^2\) unter der Nebenbedingung
\(g(x,y)=x^2+y^2-1=0\)
Notwendig Bedingung für ein Minimum von \(f\) ist
die Gradientengleichung
\(\nabla g=\lambda\nabla f\), also
\((2x-8,2y-6)=(2\lambda x,2\lambda y)\quad (*)\)
für ein \(\lambda\)
Fall: \(\lambda=0\Rightarrow x=4\; \wedge y=3\), aber \((3,4)\)
liegt nicht auf dem Einheitspreis, also \(\lambda\neq 0\).
Ähnliche Überlegungen liefern \(x\neq0 \wedge\; y\neq 0\)
\((*)\) ergibt dann wegen
\(\frac{x-4}{y-3}=\frac{x}{y}\) die Gleichung \(y=3/4x\). Dies in \(g(x,y)=0\) eingesetzt liefert
\(x=4/5,\; y=3/5\). Die Werte \(x=-4/5,\; y=-3/5\) ergeben ein Maximum des
Abstands, wie man sich anhand der Skizze von Moliets leicht klarmacht.