Vollständige Induktion & Lagrange-Restglied

Question

Aufgabe:

Wir betrachten die Funktion f: ]-1,∞[ → ℝ, f(x)= \( \frac{x}{1+x} \)

a) Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass

f⁽ⁿ⁾ (x)=(-1)ⁿ⁺¹ \( \frac{n!}{(1+x)^n+^1} \)   für alle n∈ℤ_≥1 gilt.

b) Geben Sie das Taylor-Polynom T_f,0,3(x) dritter Ordnung von f an der Entwicklungsstelle x₀=0 an.

c) Geben Sie das Taylor-Polynom T_f,2,3(x) dritter Ordnung von f an der Entwicklungsstelle x₀=2 an.

d) Für das Lagrange-Restglied R_f,2,n(x) von f an der Entwicklungsstelle x₀=2 zeige man, dass \( \lim\limits_{n\to\infty} \) R_f,2,n(x)=0 für alle x∈[1,3] gilt.

Problem/Ansatz:

Hallo zusammen, ich habe diese Aufgabe. b) und c) habe ich geschafft, jedoch hänge ich noch bei der a) und d). Könnt ihr mir da weiterhelfen?

Comments

Um Dir bei d) zu helfen: Wie habt Ihr denn das L Restglued R_(f,2,n)(x) definiert?

Answer 1

a)

Der erste Induktionsschritt ist richtig, sodann

f⁽ⁿ⁾(x) = \( (-1)^{n+1} \)* n! * \( (1+x)^{-(n+1)} \)

Beim ableiten von f⁽ⁿ⁾(x) kann der konstante Faktor \( (-1)^{n+1} \)* n! erstmal ausser Acht gelassen werden.

g(x) = \( (1+x)^{-(n+1)} \)
g'(x) = \( -(n+1) * (1+x)^{-(n+2)} \)

Daraus folgt:

f⁽ⁿ⁺¹⁾(x) = \( (-1)^{n+1} * n! * g'(x) \)
f⁽ⁿ⁺¹⁾(x) = \( (-1)^{n+1} * n! * -(n+1) * (1+x)^{-(n+2)} \)
f⁽ⁿ⁺¹⁾(x) = \( (-1)^{n+2} * (n+1)! * (1+x)^{-(n+2)} \)
q.e.d.