Eine elementare Variante ist, die Ungleichung zwischen geometrischem und arithmetischem Mittel zu benutzen - kurz GM-AM:
\(|xy|\leq \frac{x^2+y^2}2\) wobei Gleichheit eintritt genau dann wenn |x|=|y|.
Also
\(-2 \leq xy \leq 2\) wobei rechts Gleichheit gilt bei \((x,y)= \pm(\sqrt 2,\sqrt 2)\) und links bei \((x,y)= \pm(-\sqrt 2,\sqrt 2)\).
Nachbemerkung:
Dass GM-AM gilt, kannst du schnell sehen, indem du feststellst:
\((x+y)^2\geq 0\) und \((x-y)^2\geq 0\) was äquivalent ist zu
\(x^2+y^2\geq -2xy\) und \(x^2+y^2\geq 2xy\).
Zweite fast elementare Variante:
Setze \(x=r\cos t,\; y= r\sin t\) mit \(1\leq r \leq 2\) und \(t \in [0,2\pi]\)
Damit ist
\(xy = r^2\cos t\sin t = \frac {r^2}2\sin 2t\)
Jetzt kannst du Minimum und Maximum direkt ablesen.