Lagrange Ansatz bei beschränkter Menge

Question

Aufgabe:

Sei M := {(x, y) T ∈ R² : 1 ≤ x² + y² ≤ 4} und f : M → R, f(x, y) = xy

i) Entscheide, ob Maximum und Minimum der Funktion f existieren und bestimme ggf. alle globalen Extremstellen von f.

Problem/Ansatz:

Es gilt: ∇f(x,y) = (y x), d.h., (0,0) ist eine kritische Stelle im Inneren. Da dieser Punkt aber nicht in der Menge ist, müssen die Extrema am Rand der Menge liegen. Hier nun die eigentliche Frage:

Verstehe ich das richtig, dass es hier nun zwei "Ränder" gibt, also einmal x² + y² = 4 und einmal x² + y² = 1? Die Extrema lassen sich ja dann über Lagrange bestimmen. Muss ich aber hier dann zwei mal Lagrange anwenden, jeweils einmal für beide "Ränder" bzw. Nebenbedingungen um alle Extrema der Funktion zu erhalten?  Oder ergibt sich eine ganze andere Nebenbedingung um hier Lagrange anzuwenden um so alle Extrema zu erhalten die ich hier nicht sehe?

Comments

Musst bzw. willst du Langrange machen? Oder ist die Aufgabe "methodenoffen"?

Grundsätzlich hast du erst einmal Recht, dass Maximum und Minimum auf dem Rand angenommen werden müssen. Der Rand setzt ich hier aus den beiden Kreisen mit \(x^2+y^2=1\) und \(x^2+y^2=4\) zusammen.

Aber es gibt auch elementare Methoden, die Extrema zu finden.

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Die Aufgabe ist "Methodenoffen", Lagrange ist mir hier lediglich zuerst in den Sinn gekommen, da es zum Vorlesungsstoff gehört. Aber jetzt bin ich neugierig, welche anderen Methoden gäbe es hier um die Extrema zu finden?

Answer 1

Eine elementare Variante ist, die Ungleichung zwischen geometrischem und arithmetischem Mittel zu benutzen - kurz GM-AM:

\(|xy|\leq \frac{x^2+y^2}2\) wobei Gleichheit eintritt genau dann wenn |x|=|y|.

Also

\(-2 \leq xy \leq 2\) wobei rechts Gleichheit gilt bei \((x,y)= \pm(\sqrt 2,\sqrt 2)\) und links bei \((x,y)= \pm(-\sqrt 2,\sqrt 2)\).

Nachbemerkung:
Dass GM-AM gilt, kannst du schnell sehen, indem du feststellst:

\((x+y)^2\geq 0\) und \((x-y)^2\geq 0\) was äquivalent ist zu

\(x^2+y^2\geq -2xy\) und \(x^2+y^2\geq 2xy\).

Zweite fast elementare Variante:

Setze \(x=r\cos t,\; y= r\sin t\) mit \(1\leq r \leq 2\) und \(t \in [0,2\pi]\)

Damit ist

\(xy = r^2\cos t\sin t = \frac {r^2}2\sin 2t\)

Jetzt kannst du Minimum und Maximum direkt ablesen.