Aloha :)
$$C(x;y)=2x+3y\to\text{Extremum}\quad;\quad g(x;y)=100xy\stackrel!=200$$Nach Lagrange muss der Gradient der zu optimierenden Funktion ein Vielfaches des Gradienten der Nebenbedingung sein:
$$\operatorname{grad}C(x;y)=\lambda\cdot\operatorname{grad}g(x;y)\implies\binom{2}{3}=\lambda\binom{100y}{100x}\implies\frac{2}{3}=\frac{\lambda\,100y}{\lambda\,100x}=\frac{y}{x}$$
Damit haben wir die Forderung \(y=\frac{2}{3}x\) und setzen sie in die Nebenbedingung ein:$$200=100xy=100x\cdot\frac{2}{3}x=\frac{200}{3}x^2\implies x^2=3\implies x=\pm\sqrt3\implies y=\pm\frac{2\sqrt3}{3}$$
Wir haben also zwei Extrema: \(\left(\sqrt3\,\big|\,\frac{2\sqrt3}{3}\right)\) und \(\left(-\sqrt3\,\big|\,-\frac{2\sqrt3}{3}\right)\).
Da die negative Lösung wegfällt (weil nicht weniger als nichts produziert werden kann), bleibt nur \(x=\sqrt3\) und \(y=\frac{2\sqrt3}{3}\) als Lösung übrig.
