Aloha :)
Um Indizes zu sparen, schreibe ich \(x\) für \(x_1\) und \(y\) für \(x_2\). Wir sollen die Kosten \(K(x,y)\) unter der Nebenbedingung \(G(x,y)=F(x,y)-3142=0\) optimieren:$$K(x,y)=77x+73y\quad;\quad G(x,y)=4x^2+73xy+4y^2-3142\stackrel!=0$$
Nach Lagrange muss der Gradient der zu optimierenden Funktion eine Linearkombination der Gradienten aller Nebenbedingungen sein:$$\operatorname{grad}K(x,y)=\lambda\cdot\operatorname{grad}G(x,y)\quad\Longleftrightarrow\quad\binom{77}{73}=\lambda\binom{8x+73y}{73x+8y}$$
Da die Gradienten also linear abhängig sein müssen, liegen beide parallel oder antiparallel zueinander und spannen keine Fläche auf. Daher muss die aus ihnen gebildete Determinante gleich \(0\) sein:
$$0\stackrel!=\begin{vmatrix}77 & 8x+73y\\73 & 73x+8y\end{vmatrix}=77(73x+8y)-73(8x+73y)=5037x-4713y\implies$$$$4713y=5037x\implies \boxed{\frac{y}{x}=\frac{5037}{4713}=\frac{1679}{1571}\approx1,068746}$$
Das ist zwar nur ein Zwischenergebnis, ist aber bereits das gesuchte optimale Faktorenverhältnis von Faktor 2 zu Faktor 1. Um die optimale Lösung zu ermitteln, setzen wir \(y=\frac{1679}{1571}x\) in die Nebenbedingung \(G\) ein:
$$0=G\left(x\,;\,\frac{1679}{1571}x\right)=4x^2+73x\frac{1679}{1571}x+4\left(\frac{1679}{1571}x\right)^2-3142\implies$$
$$0=\frac{213\,701\,085}{1571^2}x^2-3142\implies x^2=\frac{3142\cdot1571^2}{213\,701\,085}\implies x=1571\sqrt{\frac{3142}{213\,701\,085}}$$Da es keine negativen Faktoren \(x,y\) gibt, kommt für \(x\) nur die positive Lösung in Betracht. Damit haben wir also:
$$\boxed{x\approx6,023874}\quad;\quad \boxed{y=\frac{1679}{1571}x\approx6,437992}$$
