Aloha :)
Die Kostenfunktion $$C(x,y)=89x+81y$$soll unter der Nebenbedingung$$F(x,y)=12x^2+80xy+3y^2=6131$$minimiert werden. Die Lagrange-Funktion dazu lautet:$$L(x,y,\lambda)=89x+81y-\lambda(12x^2+80xy+3y^2-6131)$$Das Rechnen mit der Lagrange-Funktion ist oft viel zu aufwändig. Einfacher geht es mit der Kern-Idee von Lagrange. In einem Extremum müssen der Gradient der Funktion und der Gradient der Nebenbedingung kollinear sein (also parallel oder anti-parallel). Das heißt, wenn man beide Gradienten als Spalten in eine Determinante schreibt, muss diese null sein:
$$0\stackrel!=\left|\begin{array}{cc}\partial_xC & \partial_xF\\\partial_yC & \partial_yF\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}89 & 24x+80y\\81 & 80x+6y\end{array}\right|=89(80x+6y)-81(24x+80y)$$$$\phantom{0}=5176x-5946y\quad\Longrightarrow\quad y=\frac{5176}{5946}\,x$$Diese Forderung können wir in die Nebenbedingung einseetzen und finden \(x\):$$12x^2+80x\cdot\frac{5176}{5946}x +3\left(\frac{5176}{5946}x\right)^2=6131\quad\Longleftrightarrow$$$$83,91341108\,x^2=6131\quad\Longleftrightarrow$$$$x=\pm\sqrt{\frac{6131}{83,91341108}}=\pm8,54771376$$Da es keine negativen Produktionsmengen gibt, scheidet die negative Lösung aus:$$\boxed{x=8,54771376}$$
