Extremstellen und Abhängigkeit von a bestimmen

Question

Aufgabe:

Extremwerte: Es sei \( a \) eine reelle Zahl mit \( a>1 \). Bestimmen Sie - in Abhängigkeit von \( a \)-alle lokalen Extremstellen der Funktion
\( f(x)=\frac{x^{3}}{3}+a x^{2}+x-\sqrt{17} . \)

Problem/Ansatz:

\( \begin{array}{l}f(x)=\frac{1}{3} x^{3}+a x^{2}+x-\sqrt{17} \\ f^{\prime}(x)=x^{2}+2 a x+1 \\ \quad x_{1,2}=-\frac{2 a}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{2 a}{2}\right)^{2}-1} \\ \quad-a \pm \sqrt{a^{2}-1} \\ x_{1}=-a+\sqrt{a^{2}-1} \quad x_{2}=-a-\sqrt{a^{2}-1} \\ f^{\prime \prime}(x)=2 x+2 a\end{array} \)

Guten Morgen, ich habe Schwierigkeiten bei dieser Aufgabe. Mich irritiert der Parameter a, wie gehe ich weiter vor?

Comments

Hoppla: Hatte a>1 überlesen. Das Folgende ist also irrelevant.

Nur der Vollständigkeit halber: Im Falle a=1 0der a=-1 liegt keine Extremum vor.

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Das Folgende ist also irrelevant.

Dennoch interessant.

Cui malo? Nemini! :)

Answer 1

Du kannst die Lösung nur in Abhängigkeit von a angeben.

Du bist damit fertig.

Du kannst x1/2 noch in f '' einsetzen um deren Art zu bestimmen.

Das wird aber nicht verlangt.

Comments

Du bist damit fertig

In der Aufgabe steht

Bestimmen Sie - in Abhängigkeit von \( a \)-alle lokalen Extremstellen der Funktion

Mit \(x_{1,2} = -a \pm \sqrt{a^2-1}\) ist das formal erledigt. Schön wäre es natürlich, eine Funktion \(g\) von \(x\) angeben zu können, aus der der Verlauf der Extremstellen ersichtlich ist.

Löse dazu die zu 0 gesetzte Ableitung \(x^2+2ax+1=0\) nicht nach \(x\) sondern nach \(a\) auf und setze das Ergebnis in \(f_a(x)\) ein. Das Resultat ist eine Funktion \(g\), die die Ortskurve der Extremstellen beschreibt:$$g\left(x\right)=-\frac{1}{6}x^{3}+\frac{1}{2}x-\sqrt{17}\quad \left\{x<0\right\}$$

https://www.desmos.com/calculator/whit9ypjl2

Den Punkt \(a=\dots\) kann man mit der Maus horizontal verschieben.

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Schön wäre es natürlich, eine Funktion \(g\) von \(x\) angeben zu können,

Stimmt, aber warum eine Arbeit machen, die

a) nicht verlangt ist

b) nicht honoriert wird

c) Zeit und Nerven kostet, wenn man kein Experte ist wie du und

Freude daran hat.

Sieht aber topp aus wie immer und ist sehr hilfreich.

Du bist ein guter Didaktiker und gehörst zu den besten derselben hier. :)

Leider kann ich dir kein Plus in meiner Antwort geben.