Fläche berechnen unbeschränkte Fläche

Question

Aufgabe:

Flächenberechnung: Für jede feste reelle Zahl \( c \) sei die Funktion \( f_{c} \) wie folgt definiert:
\( f_{c}(x)=10 \cdot(x-c) \cdot e^{-x} . \)
Die Kurven der Funktionen \( f_{c+1} \) und \( f_{c} \) begrenzen mit der \( y \)-Achse eine nach rechts unbeschränkte Fläche. Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche.

Problem/Ansatz:

Guten Morgen, leider bekomme ich diese Aufgabe nicht gelöst. Mir fehlt da der Ansatz für eine Lösung.

Answer 1

\( f_{c+1} \) - \( f_{c} \) = 10·e^-x

\( \int\limits_{0}^{u} \)10·e^-x dx= 10 - 10e^-u.

\( \lim\limits_{u\to\infty} \)(10 - 10e^-u)=10    

Comments

Warum lässt du den Zwischenschritt in der 2.Zeile weg?

[-10e^-x] von 0 bis u =  -10e^-u - (-10e^-0) = 10- 10e^-u

Der wäre zum Nachvollziehen für manche wichtig.

Ich wette, dass in der Schule nachgefragt würde.

Viele haben mit solchen Gedankensprüngen Probleme.

Das sieht man auch hier immer wieder.

Ich halte das didaktisch für unklug.

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$$ f_{c+1} - f_{c} = 10\cdot e^{-x}$$

Besser: $$ f_{c} - f_{c+1} = 10\cdot e^{-x}$$

https://www.desmos.com/calculator/d9yeocdsth

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Woher weiß ich was ich wovon abziehen muss?

Welches c hast du in deiner Graphik verwendet und warum?

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Woher weiß ich was ich wovon abziehen muss?
Den Term des unteren Graphen vom oberen (selbstverständlich).

Welches c hast du in deiner Graphik verwendet und warum?

Kann man leicht an den Nullstellen ablesen.

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Den Term des unteren Graphen vom oberen (selbstverständlich).

Woher weiß ich das ohne Graphik?

Kannst du dir das ohne sie so einfach vorstellen? Ich nicht.

Die Frage war eigentlich an Werner gerichtet, er hat die Graphik erstellt.

Aber danke trotzdem.

Welches c hast du in deiner Graphik verwendet und warum?

Gewöhnlich gibt man das an.

Es gibt keine Graphen ohne konkrete Werte von c.

Formal ist die Beschriftung m.E. nicht korrekt.

Ein Fall für hj...

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Welches c hast du in deiner Graphik verwendet ?

das ist eine berechtigte Frage. Ich habe das \( c\) hinzu gefügt. Man kann es jetzt durch Verschieben mit der Maus verändern.

... und warum?

warum nicht ;-)

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Kannst du dir das ohne sie so einfach vorstellen? Ich nicht.

Ich mache mir solche Skizzen, wie Werner sie eingestellt hat (lasse aber die Achsenbeschriftung weg, um Menschen, wie ggT22 nicht zu irritieren).

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Kann mir jemand den kompletten Rechenweg zukommen lassen? Damit ich es verstehe.

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Woher weiß ich was ich wovon abziehen muss?

Du kannst in den Funktionen \(f_c\) und \(f_{c+1}\) für \(x\) irgendwelche Werte einsetzen - hier bieten sich z.B. \(x=c\) und \(x=c+1\) an. Im Übrigen ist es es bei Aufgaben dieser Art immer geschickt sich den Graphen der betreffenden Funktion zu veranschaulichen. So wird dann schnell klar, was zu rechnen ist.

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Ich mache mir solche Skizzen, wie Werner sie eingestellt hat

Das darfst du aber nicht von jeden erwarten, viele können es nicht.

(lasse aber die Achsenbeschriftung weg, um Menschen, wie ggT22 nicht zu irritieren).

Was könnte mich irritieren?

Danke, dass du mich noch zu den Menschen zählt. Dass ich das nicht für jeden

hier bin, hat Monthy P. gestern deutlich zum Ausdruck gebracht.

Answer 2

Aloha :)

Gegeben ist die Funktionenschar$$f_c(x)=10(x-c)e^{-x}=10xe^{-x}-10ce^{-x}$$

Die Kurven \(f_c\) und \(f_{c+1}\) begrenzen mit der y-Achse \((x=0)\) eine nach rechts unbeschränkte \((x\to\infty)\) Fläche. Es gilt:$$f_{c+1}(x)-f_c(x)=\left(10xe^{-x}-10(c+1)e^{-x}\right)-\left(10xe^{-x}-10ce^{-x}\right)=-10e^{-x}$$Diese Differenz ist für alle \(x\in\mathbb R\) negativ, da die Exponentialfunktion stets positiv ist. Die eingeschlossene Fläche bestimmen wir durch Integration des Betrages dieser Differenz:

$$F=\int\limits_0^\infty10e^{-x}dx=10\left[-e^{-x}\right]_0^\infty=10\left(0-\left(-e^0\right)\right)=10$$