Untersuchen Sie, ob die unbeschränkte Fläche, die der Graph der Funktion f, einen endlichen Flächeninhalt hat.

Question

Aufgabe: 4. Untersuchen Sie, ob die unbeschränkte Fläche, die der Graph der Funktion füber dem Intervall ]0; 1] mit der \( x \)-Achse einschließt, einen endlichen Flächeninhalt hat.
a) \( f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}} \)
b) \( f(x)=\frac{1}{x^{3}} \)
c) \( f(x)=-\frac{1}{4 x^{3}} \)

Problem/Ansatz: Ich weiß nicht ganz, wie ich vorgehen soll.

Answer 1

Dazu betrachte Integrale \(   \int\limits_z^1 f(x)dx \)

und prüfe ob das Ergebnis für z gegen 0 einen endlichen

Grenzwert hat, z.B. bei Teil a)

\(  \int\limits_z^1 \frac{1}{\sqrt{x}}dx =  \int\limits_z^1 x^{-\frac{1}{2}}dx =[\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}}]_z^1=  \frac{1}{2}-\frac{1}{2} \sqrt{z}   \) 

und für z gegen 0 geht das gegen 0,5 also endliche Flächenmaßzahl.