Differentialgleichung lösen, Ansatz rechte Seite

Question

Aufgabe:

Lineare Differenzialgleichungen: Bestimmen Sie die Lösung des Problems
\( y^{\prime \prime}=e^{-x}, \quad y(0)=4, \quad y(-1)=1+e . \)

Problem/Ansatz:

Kann ich diese Aufgabe mit dem Ansatz der rechten Seite berechnen oder benötige ich hier ein anderes Verfahren?

Answer 1

Hallo,

Wenn nichts weiter in der Aufgabe stand, kannst Du die DGL so lösen:

y'' =e^(-x)

y'= ∫ e^(-x) dx = - e^(-x) +C₁

y=∫ (-e^-x) +C₁)dx= e^(-x) +xC₁+C₂

_{Einsetzen der Anfangsbedingungen:}

_{allgemeine Lösung:  y=e^(-x) +xC1+C2}

_{1) y(0)=4:  y=e^(-x) +xC1+C2}

_{4=e^(-0) +0*C1+C2}

_{4=1 +C2 ---->C2= 3}

_{2) y(-1)=1 +e}

_{y=e^(-x) +xC1+C2}

_{1+e= e -C1 +C2}

_{1=  -C1 +C2}

_{1= -C1 +3 ->C1=2}

_{--->endgültige Lösung mit AWB:}

_{y=e^(-x) +xC1+C2
y=e^(-x) +2x+3}

Comments

Vielen lieben Dank :)

Answer 2

Die zweite Ableitung von \(y\) ist \(e^{-x}\).

Also ist die Ableitung von \(y\) eine Stammfunktion von \(e^{-x}\).

Somit ist \(y\) eine Stammfunktion einer Stammfunktion von \(e^{-x}\).

Da braucht man kein besonderes Verfahren, sondern nur ein wenig Ahnung von Integralrechnung.