Unterschiedliche Varianzformeln (Stochastik / Statistik)?

Question

Aufgabe:

Ich bin etwas verwirrt mit der Berechnung der Varianz, da es anscheinend mehrere Formeln gibt.

1. V(x) = E(X²) - (EX)²

2. V(x) = n * p * (1-p)

3. V(x) = \( \frac{1}{n} \) * \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{n} \) (x_i -x‾)       x‾ soll das arithmetische Mittel sein, habe kein Symbol gefunden

Problem/Ansatz:

So wie ich das jetzt verstanden habe, sind die ersten zwei Formeln für die Varianz bei Binomialverteilung und die 3. Formel für die Varianz bei Statistiken gedacht, jedoch bin ich mir nicht sicher.

Answer 1

Aloha :)

Die erste Formel gilt für alle Verteilungen.

Die zweite Formel ist die Varianz einer binomialverteilten Zufallsgröße \(X\).

Die dritte Formel ist keine Varianz, hast dich vermutlich vertippt.

Comments

Ja es müsste \( \frac{1}{n} \) ∑(xi -x‾)² sein, wäre es dann eine Varianz und wenn ja für welche?

---

Die letzte Formel ist nicht ganz richtig. Wenn du alle \(n\) Ausgänge \(x_k\) eines Zufallsexperiments und die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten \(p_k\) kennst, kannst du den Erwartungswert \(\mu\) exakt bestimmen:$$\mu=\sum\limits_{k=1}^np_k\cdot x_k$$Die Varianz ist dann:$$V(X)=\sum\limits_{k=1}^np_k(x_k-\mu)^2$$Falls alle \(n\) Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind, gilt \(\left(p_k=\frac1n\right)\) und daher:$$V(X)=\frac1n\sum\limits_{k=1}^n(x_k-\mu)^2$$

Oft kennt man aber nicht alle möglichen Ausgänge \(x_k\) eines Experiments und erst recht nicht deren Wahrscheinlichkeiten \(p_k\). Man macht dann eine Stichprobe von \(n\) Wiederholungen und behandelt alle Ergebnisse als gleich wahrscheinlich. Der Erwartungswert \(\mu\) wird durch den Mittelwert \(\overline x\) angenähert:$$\overline x=\frac1n\sum\limits_{k=1}^nx_k$$Dieser Mittelwert enthält nun aber eine Ungenauigkeit gegenüber des exakten Erwartungswertes \(\mu\). Diese Ungenauigkeit pflanzt sich in die Varianz fort und muss korrigiert werden. Zum Glück ist die Korrektur sehr einfach, man dividiert nicht durch \(n\), sondern durch \((n-1)\):$$V(X)=\frac{1}{n-1}\sum\limits_{k=1}^n\left(x_k-\overline x\right)^2$$