Bestimmen sie die obere Integrationsgrenze b 1 so, dass

Question

Aufgabe:

Bestimmen sie die obere Integrationsgrenze b > 1 so, dass

$\int\limits_{1}^{b}$ $\frac{x^2}{2+x^3}$ dx = 0,50

gilt.
Hinweis: Lösen Sie das gegebene Integral mit Hilfe einer geeigneten Substitution. Vereinfachen Sie ihr Ergebnis soweit wie möglich und geben Sie den analytischen Ausdruck als Lösung an.

Problem/Ansatz:

Die geeignete substitution bereitet mit in dem fall etwas Probleme, deshalb komm ich da auch nicht voran.

Answer 1

$\int\limits_{}^{}\frac{x^2}{2+x^3}dx$

Substitution:

$u=x^3+2$

$\frac{du}{dx}=3x^2$      $du=3x^2*dx$         $dx=\frac{du}{3x^2}$

$\int\limits_{}^{}\frac{x^2}{2+x^3}dx =\int\limits_{}^{}\frac{1}{3u}du=\frac{1}{3}\int\limits_{}^{}\frac{1}{u}du=\frac{1}{3}*ln(u)$

Re-Substitution:

$\int\limits_{}^{}\frac{x^2}{2+x^3}dx=\frac{1}{3}*ln(|x^3+2|)$

Comments

Seltsam, das hab ich auch raus aber die Lösung ist laut hm4mint Seite falsch.

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Moliets Lösung wäre richtig auf die Frage nach einer Stammfunktion. Das war aber nicht gefragt.

Gefragt ist ein analytischer Ausdruck für die obere Integrationsgrenze b. Die müsstest du jetzt noch mithilfe der Stammfunktion ermitteln.

Es ist unklug, Antworten auszuzeichnen, die du nicht verstehst.

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Gefragt ist ein analytischer Ausdruck für die obere Integrationsgrenze b

Das war offenbar sein Problem, das Moliets gelöst hat:

Die geeignete substitution bereitet mit in dem fall etwas Probleme, deshalb komm ich da auch nicht voran.

Der Rest sollte kein Problem sein.

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Bewusst hab ich die Antwort nicht markiert, das tut mir leid.

Ich hab jetzt weitergerechnet und komme dann auf

b= $\sqrt[3]{e^\frac{3}{2}-2}$
jedoch scheint das falsch zu sein denn ich kann $\sqrt[3]{x}$ bei hm4mint nicht verwenden, auch nicht als $\frac{1}{3}$

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Klick mal auf Support und auf Eingabe mathematischer Ausdrücke. Eigentlich kannst du dort auch solche Sachen eingeben.

Das scheint vom System die gleiche Seite wie das https://www.ombplus.de/ hier aus Hamburg.

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Danke für den Hinweis, jetzt kann ich es eingeben, aber scheint nicht das richtige Ergebnis zu sein.

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Ich kann bestätigen das dein genanntes Ergebnis für b inkorrekt ist.

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Danke für den Hinweis, jetzt kann ich es eingeben, aber scheint nicht das richtige Ergebnis zu sein.

Du musst die Gleichung

$\frac{1}{3}*ln(|b^3+2|) -\frac{1}{3}*ln(|1^3+2|)=0,5$ lösen.

Daraus wird

$\frac{1}{3}*ln(|b^3+2|) -\frac{1}{3}*ln(3)=0,5$

$ln(|b^3+2|) -ln(3)=1,5$

$ln(|b^3+2|) =ln(3)+1,5$
$e^{ ln(|b^3+2|)} =e^{ln(3)+1,5}$

$|b^3+2| =3e^{1,5}$

Kannst du so weit folgen?

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ja kann ich.

klar jetzt ist mir die Lösung auch klar.

b = $\sqrt[3]{3e^{\frac{3}{2}}-2}$

Danke euch

Unknown: Latex korrigiert

Answer 2

In Zähler steht fast die Ableitung des Nenners:

Verwende:

F(x)= ln g(x) +C -> F'(x) = f(x) = g'(x)/g(x)

Lass die 3 im Zähler verschwinden mit 1/3.

Du musst nicht lange substituieren, es geht ruckzuck.