Berechnen Sie den Flächeninhalt des grün markierten Bereichs zwischen x_{0}=0 und x_{\min } .

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie den Flächeninhalt des grün markierten Bereichs zwischen \( x_{0}=0 \) und \( x_{\min } \). Die Funktionsvorschrift des eingezeichneten Graphen lautet \( f(x)=\frac{2 x+3}{ \sqrt{x}}\)

Das Minimum befindet sich bei \( x_{\min }=\)

Der Flächeninhalt ergibt sich zu:

Edit Unknown:Latex angepasst.

Comments

Die Funktionsvorschrift des eingezeichneten Graphen lautet \( f(x)=2 x+3 \ \sqrt{x})

meinst Du$$f(x)=\frac{2x+3}{\sqrt{x}} \quad \text{mit }\space x_{\min}=\frac{3}{2}$$??

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ja genau meine ich

Answer 1

Hallo,

Die Funktion lautet$$f(x)=\frac{2x+3}{\sqrt{x}}= 2x^{1/2} + 3x^{-1/2}$$Zum Ableiten reduziere den Exponenten von \(x\) um 1 und multipliziere mit dem nicht reduzierten Exponenten. Daraus folgt$$f'(x) = x^{-1/2} - \frac{3}{2}x^{-3/2}$$Zum berechnen des Minimums klammere \(x^{-3/2}\) aus:$$x^{-1/2} - \frac{3}{2}x^{-3/2} = x^{-3/2} \left(x - \frac{3}{2}\right) \to 0\\ \implies x_{\min} = \frac{3}{2}$$Die Lösung \(x=0\) entfällt, da dort \(f\) nicht definiert ist. Das Integrieren geht umgekehrt. Erhöhe den Exponenten um 1 und teile durch den erhöhten Exponenten. Daraus folgt die Stammfunktion \(F\)$$F(x) = \int f(x)\,\text{d}x =\frac{4}{3}x^{3/2} + 6 x^{1/2} + C$$Und von 0 bis \(x_{\min}=3/2\) ist das dann$$\int\limits_{x=0}^{3/2}f(x)\,\text{d}x = F\left(\frac{3}{2}\right) - F(0) = \left(\frac{4}{3}\cdot\frac{3}{2} + 6\right)\sqrt{\frac{3}{2}} =4\sqrt{6}\approx 9,798$$Gruß Werner

Comments

als Goodi das ganze noch in Desmos gegossen ;-)

https://www.desmos.com/calculator/sebdkmnzvb

ziehe den Punkt \(x_2=\dots\) auf die rote Linie \(x=1,5\) und kontrolliere das Ergebnis.

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Haben Sie eigentlich Mathe studiert?

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Haben Sie eigentlich Mathe studiert?

Nein ;-) - ich bin Ingenieur.

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Btw.: um diese Aufgabe hier zu lösen sollte ein 'normales' Abitur ausreichen. Zumindest ist das der Stoff den man dann gelernt haben sollte. Auch wenn der dann bei vielen in Vergessenheit gerät.

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Hast du als Ingenieure auch viel mit Funktionen undso zutun oder eher weniger?

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Hast du als Ingenieur auch viel mit Funktionen undso zutun ... ?

Das ist eine berechtigte Frage. Jeder meiner Nachhilfeschüler quälte mich schon mit der Frage: "Wozu braucht man das?"

Bei meiner Arbeit macht der Anteil der Mathematik vielleicht 1% oder weniger aus. Konkret geht es dabei auch um Funktionen aber auch um Matrizenrechnung, Geometrie/Trigonometrie, Lineare Algebra, ein wenig Fehlerrechnung und selten eine Differenzialgleichung oder ein (nicht diskretes) Optimierungsproblem. Allerdings könnte ich ohne dieses 1% vielleicht 30% der Arbeit gar nicht machen.

Und ohne diese 30% müsste entweder jemand anderes das erledigen, oder wenn es niemand kann, dann könnten wir die Produkte unserere Firma gar nicht realisieren.

D.h. Mathematik ist schon essentiell wichtig, aber im Berufsleben wird es wohl so sein, dass Du entweder nur mit rudimentären (Mathe-)Aufgabe zu tun haben wirst (die Grundrechenarten/Prozentrechnung & Co. kannst Du ja) - das gilt wohl für die meisten (!) - oder Du wirst mit Problemen konfrontriert, die komplexer sind, als das was an Schule oder Uni gelehrt wird. Mit letzterem müssen/wollen sich aber nur wenige herum schlagen.

Der Web-Link zum Thema: "Schafft Mathe an der Schule ab"

Und natürlich darf dabei nicht unerwähnt bleiben, dass es Leute gibt, die sich unheimlich gerne mit mathematischen Problemstellungen befassen .... ;-)

Answer 2

Falls f(x)=\( \frac{2x+3}{\sqrt{x}} \) gemeint ist:

f '(x)=\( \frac{2x-3}{x·\sqrt{x}} \)

Das Minimum befindet sich bei x_min=\( \frac{3}{2} \).

Das unbestimmte Integral ist dann F(x)=\( \frac{4x·\sqrt{x}}{3} \)+6·\( \sqrt{x} \).

Der Flächeninhalt ergibt sich zu: 4·\( \sqrt{6} \).

Answer 3

f(x) = 2x +3x^-0,5

f '(x) = 0

2- 1,5*x^-1,5 = 0

x^-1,5 = 4/3

x= (4/3)^(-2/3)

x= 0,825

F(x) = x^2 +6x^(0,5) +C

[x^2 +6x^(0,5)]von 0 bis 0,825 = 6.1304

Ich habe es anders gelesen, werde nicht ändern.

Das Prinzip sollte auch so klar sein.