Berechnen Sie den Flächeninhalt des grün markierten Bereichs zwischen x_{0}=0 und x_{\max } .

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie den Flächeninhalt des grün markierten Bereichs zwischen \( x_{0}=0 \) und \( x_{\max } \). Die Funktionsvorschrift des eingezeichneten Graphen lautet \( f(x)=-2 x \ln (3 x) \)

Das Maximum befindet sich bei \( x_{\max }=\frac{e^{-1}}{3} \)
Der Flächeninhalt ergibt sich zu: ?

Text erkannt:

Berechnen Sie den Flächeninhalt des grün markierten Bereichs zwischen \( x_{0}=0 \) und \( x_{\max } \). Die Funktionsvorschrift des eingezeichneten Graphen lautet \( f(x)=-2 x \ln (3 x) \)

Hinweis: Vereinfachen Sie ihr Ergebnis so weit wie möglich und geben Sie die analytische Lösung in das Antwortfeld ein.
Das Maximum befindet sich bei \( x_{\max }=\frac{e^{-1}}{3} \)
Der Flächeninhalt ergibt sich zu:

Problem/Ansatz:

Hallo zusammen, ich komme hier bei der Aufgabe nicht weiter. Beim Berechnen des Maximums gabs keine Probleme, jedoch beim Berechnen des Flächeninhalts, da der Graph nicht die y-Achse schneidet, obwohl man x0=0 benutzen soll. Kann mir hierbei jemand weiterhelfen. Vielen Dank im Voraus:)

Answer 1

Bei \( x_0 = \frac{1}{3e} \) nimmt die Funktion ihr Maximum an, nämlich \( f(x_0) = \frac{2}{3e} \) Der gesuchte Flcheninhalt ist also $$ F = f (x_0) x_0 - \int_0^{x_0} f(x) dx $$

Dás Integral muss mittels partieller Integration gelöst werden. Da das Intehral an der unteren Grenze einen Wert von \( \frac{\infty}{\infty} \) liefert, kann dieser Wert mittel L'Hospital bestimmt werden.

Bei mir kommt dann $$ F = \frac{1}{18 e^2} $$ raus.

Answer 2

Mit einer Stammfunktion \(F(x)\) ist der Flächeninhalt

  \(x_\mathrm{max}\cdot f(x_\mathrm{max}) - (F(x_\mathrm{max}) - \lim\limits_{x\to 0} F(x))\).

Comments

Oder:\(\int \limits_{0}^{e^{-1}/3}f(\frac{e^{-1}}{3})+2x\ln(3x)\, \mathrm{d}x\)

Answer 3

f(x) = - 2·x·LN(3·x)
f'(x) = - 2·LN(3·x) - 2 = 0 --> x = 1/(3·e)

f(1/(3·e)) = 2/(3·e)

∫ (0 bis 1/(3·e)) (2/(3·e) + 2·x·LN(3·x)) dx = 1/(18·e^2)