Aufgabe:
Welchen Zusammenhang gibt es zur Übertragungsfunktion?
Ausgangslage ist die Übertragungsfunktion
$$ \mathrm{G}(\mathrm{s})=\frac{\mathrm{Y}(\mathrm{s})}{\mathrm{U}(\mathrm{s})}=\frac{\mathrm{b}_{0}+\ldots .+\mathrm{b}_{\mathrm{m}} \mathrm{s}^{\mathrm{m}}}{\mathrm{a}_{0}+\ldots .+\mathrm{a}_{\mathrm{n}-1} \mathrm{~s}^{\mathrm{n}-1}+\mathrm{s}^{\mathrm{n}}} \quad, \mathrm{m} \leq \mathrm{n}, \mathrm{a}_{\mathrm{n}}=1 $$
Jetzt führen wir eine neue Variable \( X_{1}(s) \) ein, so dass gilt:
$$ X_{1}(s)=\frac{Y(s)}{b_{0}+\ldots .+b_{m} s^{m}}=\frac{U(s)}{a_{0}+\ldots .+a_{n-1} s^{n-1}+s^{n}}=X_{1}(s) $$
Zwei Gleichungen im s-Bereich -> entspricht zwei Differentialgleichungen im Zeitbereich. „Die Üfkt wird in der Mitte geteilt.“
- Spezialfall: \( m=0 \rightarrow \) heine Nulsstellen.
\( \mathrm{X}_{1}(\mathrm{~s})=\frac{\mathrm{Y}(\mathrm{s})}{\mathrm{b}_{0}}=\frac{\mathrm{U}(\mathrm{s})}{\frac{\mathrm{a}_{0}+\ldots .+\mathrm{a}_{\mathrm{n}-1} \mathrm{~s}^{\mathrm{n}-1}+\mathrm{s}^{\mathrm{n}}}{\mathrm{u}}}=x_{n}(\mathrm{~s}) \)
Erste Gleichung:
\( a_{0} X_{1}(s)+\ldots .+a_{n-1} X_{1}(s) s^{n-1}+X_{1}(s) s^{n}=U(s) \)
Zugehörige Differentialgleichung
\( a_{0} x_{1}(t)+\ldots .+a_{n-1} \frac{d^{n-1} x_{1}(t)}{d t^{n-1}}+\frac{d^{n} x_{1}(t)}{{d t^{n}}^{n}}=u \)
4.4.1 Spezialfall: \( m=0 \)
Umstellen der Gleichung ergibt:
\( \frac{\mathrm{d}^{\mathrm{n}} \mathrm{x}_{1}(\mathrm{t})}{\mathrm{dt}_{\dot{X}_{M}}^{\mathrm{n}}}=\mathrm{u}-\mathrm{a}_{\mathrm{n}-1} \underbrace{\frac{\mathrm{d}^{\mathrm{n}-1} \mathrm{x}_{1}(\mathrm{t})}{\mathrm{dt}^{\mathrm{n}-1}}}_{\mathrm{x}_{M}}-\ldots-\mathrm{a}_{0} \mathrm{x}_{1}(\mathrm{t}) \)
Einführen der anderen Zustandsgrößen: (Hinweis: ab hier wird der Einfachheit halber das (t) weggelassen)
\( \begin{array}{l} \mathrm{x}_{2}=\dot{\mathrm{x}}_{1} \\ \mathrm{x}_{3}=\dot{\mathrm{x}}_{2}=\ddot{x}_{1} \\ \mathrm{x}_{\mathrm{n}}=\dot{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}-1}=\ddot{x}_{\mathrm{n}-2}=\ldots=\frac{\mathrm{d}^{\mathrm{n}-1} \mathrm{x}_{1}}{\mathrm{dt}^{\mathrm{n}-1}} \end{array} \)
- Spezialfall: \( m=0 \)
In (I)
\( \dot{x}_{n}=u-a_{n-1} x_{n}-\ldots-a_{1} x_{2}-a_{0} x_{1} \)
Zweite Gleichung
\( y=b_{0} x_{1} \)
Fragen:
1.) Woher weiß ich, dass das gilt?: \( \begin{array}{l} \mathrm{x}_{2}=\dot{\mathrm{x}}_{1} \\ \mathrm{x}_{3}=\dot{\mathrm{x}}_{2}=\ddot{x}_{1} \\ \mathrm{x}_{\mathrm{n}}=\dot{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}-1}=\ddot{x}_{\mathrm{n}-2}=\ldots=\frac{\mathrm{d}^{\mathrm{n}-1} \mathrm{x}_{1}}{\mathrm{dt}^{\mathrm{n}-1}} \end{array} \)
Ich verstehe das nicht bei der Zustandsgrößen....
2.) Wie kann ich jetzt mithilfe der Gleichung in diesem Spezialfall, die Elemente der Zustandsraumdarstellung bestimmen.
Also ich suche die Zustandsbeschreibungsform. Mit A,B,C,D. So dass wir die Regelungsnormalform haben.
Regelungsnormalform: https://de.wikipedia.org/wiki/Zustandsraumdarstellung#Regelungsnormalform_2
Diese Fragen sind sehr essentiell und freue ich mich sehr über eine Rückmeldung.
