Aloha :)
zu 1) Die lokale Änerungsrate von \(I\), das heißt \(I'(x)\), ist stets direkt proportional zu \(I\). Die Proportionalitätskonstante soll \(k\) sein. Formal fassen wir das wie folgt zusammen:$$I'(x)=k\cdot I(x)$$
zu 2) Wir trennen die Variablen, bringen also alle \(I\) auf die eine Seite und alle \(x\) auf die andere Seite der Gleichung::$$I'(x)=k\cdot I(x)\quad\bigg|I'(x)=\frac{dI}{dx}$$$$\frac{dI}{dx}=k\cdot I\quad\bigg|\cdot dx$$$$dI=k\cdot I\cdot dx\quad\bigg|\div I$$$$\frac{1}{I}\,dI=k\cdot dx\quad\bigg|\text{beide Seiten integrieren}$$$$\ln(I)+C_1=k\cdot x+C_2\quad\bigg|\small\text{Integrationskonstanten zusammenfassen }C\coloneqq C_2-C_1$$$$\ln(I)=k\cdot x+C\quad\bigg|e^{\cdots}$$$$e^{\ln(I)}=e^{k\cdot x+C}=e^{k\cdot x}\cdot e^C$$Die Exponentialfunktion und die Logarithmusfunktion heben ihre Wirkung gegenseitig auf, daher ist \(e^{\ln(I)}=I\). Wenn wir auf der rechten Seite \(x=0\) einsetzen, bleibt die Konstante \(e^C\) übrig. Wir bezeichnen diese daher als die Anfangsintensität \(I_0\). Das liefert als Lösung der Differentialgleichung:$$I(x)=I_0\cdot e^{k\cdot x}$$
zu 3) In \(x=2\,\mathrm m\) Tiefe beträgt die Intensität noch 75% der Anfangsintensität \(I_0\), also ist \(I(2)=0,75I_0\). Damit berechnen wir die Konstante \(k\):$$0,75I_0=I(2)=I_0\cdot e^{k\cdot 2}\quad\bigg|\div I_0$$$$\frac34=e^{k\cdot 2}\quad\bigg|\ln(\cdots)$$$$\ln\left(\frac34\right)=\ln\left(e^{k\cdot2}\right)=k\cdot2\quad\bigg|\div 2$$$$k=\frac12\ln\left(\frac34\right)=\ln\left(\sqrt{\frac34}\right)=\ln\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)$$Das setzen wir in die Gleichung von (2) ein:$$I(x)=I_0\cdot e^{\ln\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)\cdot x}=I_0\cdot\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^x$$
zu 4) Wir brauchen die Tiefe \(x\) bei der nur noch 5% der Anfangsintensität \(I_0\) vorhanden ist:$$0,05I_0=I(x)=I_0\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^x\quad\bigg|\div I_0$$$$\frac{1}{20}=\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^x\quad\bigg|\ln(\cdots)$$$$\ln\left(\frac{1}{20}\right)=x\ln\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)\quad\bigg|\div\ln\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)$$$$x=\frac{\ln\left(\frac{1}{20}\right)}{\ln\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)}\approx20,83$$Ab einer Tiefe von etwa 21 Metern braucht man zusätzliches Licht.
