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Aufgabe:

Es sei g die folgende Funktion:

g(x) =

x-π    für 0 ≤ x < π
π-x   für π ≤ x < 2π

und 2π -periodisch fortgesetzt auf IR.

Bestimmen Sie die Fourierreihe dieser Funktion.

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Schreib doch mal die Formeln für die Fourier-Koeffizienten (meinst a_k und b_k) hierhin und sage uns, was Du daran nicht verstehst.

1 Antwort

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Hallo

du musst diese einfachen Funktionen doch nur in die Integrale einsetzen und da die Fkt symmetrisch zu 0 ist nur die sin Terme und a0, schlimmstenfalls hilft dir integralrechner.de oder du sagst wo du scheiterst.

lul

Avatar von 108 k 🚀

Guten Morgen,

erst einmal vielen Dank für die Rückmeldung!


Ich habe nun die Koeffizienten a0, an und bn bestimmt und daraus die Fourierreihe gebildet.
Bei a0 bin ich zuversichtlich, dass mein Ergebnis korrekt ist, bei an und bn jedoch nicht (bei beidem erhalte ich als Ergebnis 0).

Ich wäre sehr dankbar, wenn du/ ihr mal drüber schaut, ggf. Korrekturen vornehmt, bzw. die eigenen Ergebnisse der Aufgabe angebt.

Vielen Dank im Voraus!

blob.png

Text erkannt:

\( \begin{aligned} g(x) & =\left\{\begin{array}{ll}x-\pi & \text { für } 0 \leq x<\pi \\ \pi-x & \text { für } \pi \leq x<2 \pi\end{array}\right. \\ a_{0} & =\frac{1}{\pi} \cdot \int \limits_{0}^{2 \pi} f(x) d x=\frac{1}{\pi}\left(\int \limits_{0}^{\pi}(x-\pi) d x+\int \limits_{\pi}^{2 \pi}(\pi-x) d x\right) \\ & =\frac{1}{\pi} \cdot\left(\left.\left(\frac{1}{2} x^{2}-\pi x\right)\right|_{0} ^{\pi}+\left.\left(-\frac{1}{2} x^{2}+\pi x\right)\right|_{\pi} ^{2 \pi}\right. \\ & =\frac{1}{\pi} \cdot\left(-\frac{\pi^{2}}{2}+\left(-\frac{\pi^{2}}{2}\right)\right) \\ & =\frac{1}{\pi} \cdot\left(-\pi^{2}\right) \\ & =-\pi\end{aligned} \)

blob.png

Text erkannt:

\( \begin{array}{l}a_{n}=\frac{1}{\pi} \cdot\left(\int \limits_{0}^{\pi}(x-\pi) \cdot \cos (n x) d x+\int \limits_{\pi}^{2 \pi}(\pi-x) \cdot \cos (n x) d x\right) \\ =\frac{\hat{\pi}}{\pi} \cdot\left(\left.\left(\frac{x \cdot \sin (n x)}{n}-\frac{\pi \cdot \sin (n x)}{n}+\frac{\cos (n x)}{n^{2}}\right)\right|_{0} ^{\pi}\right. \\ +\left(-\frac{x \cdot \sin (n x)}{n}+\frac{\pi \cdot \sin (n x)}{n}-\left.\frac{\cos (n x)}{n^{2}}\right|_{\pi} ^{2 \pi}\right. \\ =\frac{1}{\pi} \cdot\left(\left(\begin{array}{ll}\left.0+0+\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}\right) \\ -1\end{array}\right)\right. \\ \left.-\left(0-0+\frac{1}{n^{2}}\right)\right) \\ +\left(\left(-0+0-\frac{1}{n^{2}}\right)\right. \\ \left.\left.-\left(-0+0-\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}\right)\right)\right) \\ =\frac{1}{\pi} \cdot\left(\left(\frac{(-n)^{n}}{n^{2}}-\frac{1}{n^{2}}\right)+\left(-\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}-\frac{1}{n^{2}}\right)\right) \\ =\frac{1}{\pi} \cdot\left(\frac{(-1)^{n}-1}{n^{2}}+\frac{-(-1)^{n}-1}{n^{2}}\right) \\ =\frac{1}{\pi} \cdot\left(\frac{(-n)^{n}-1}{n^{2}}-\frac{(-n)^{n}-n}{n^{2}}\right) \\ =\frac{1}{\pi} \cdot 0 \\ =0 \\\end{array} \)

blob.png

Text erkannt:

\( \begin{aligned} b_{n}= & \frac{1}{\pi} \cdot \int \limits_{0}^{2 \pi} f(x) \cdot \sin (n x) d x \\ = & \frac{1}{\pi} \cdot\left(\left.\left(-\frac{x \cdot \cos (n x)}{n}+\frac{\pi \cdot \cos (n x)}{n}+\frac{\sin (n x)}{n^{2}}\right)\right|_{0} ^{\pi}\right. \\ & +\left.\left(\frac{x \cdot \cos (n x)}{n}-\frac{\pi \cdot \cos (n x)}{n}-\frac{\sin (n x)}{n^{2}}\right)\right|_{\pi} ^{2 \pi} \\ = & \frac{1}{\pi} \cdot\left(\left(\left(-\frac{\pi \cdot(-1)^{n}}{n}+\frac{\pi \cdot(-1)^{n}}{n}+0\right)\right.\right. \\ & -(0)+0)) \\ & \left.+\left(\left(\frac{2 \pi}{n}+\frac{\pi}{n}-0\right)\right)\right) \\ & -\left(\frac{\pi \cdot(-1)^{n}}{n}-\frac{\pi \cdot(-n)^{n}}{n}\right. \\ = & \frac{1}{\pi} \cdot\left(\left(0-\frac{\pi}{n}\right)+\left(\frac{\pi}{n}-0\right)\right) \\ = & \frac{1}{\pi} \cdot(0 \\ = & 0\end{aligned} \)

blob.png

Text erkannt:

tusarmengetruy un \( a_{0}, a_{n}, b_{n} \) :
\( \begin{aligned} F_{f}(x) & =\frac{a_{0}}{2}+\sum \limits_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cdot \cos (n x)+b_{n} \cdot \sin (n x)\right) \\ & =\frac{-\pi}{2}+0 \\ & =-\frac{\pi}{2} \end{aligned} \)

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